La masa de un núcleo de ^{239}\text{Pu} (plutonio) es 239{,}05\,\text{u} y su periodo de semidesintegración es 24\,200 años. Determina: a) La constante de desintegración \lambda. (0,5 puntos) b) La actividad de una muestra de 1{,}0\,\text{mg} de ^{239}\text{Pu}. (1 punto) c) El tiempo necesario para que quede el 25\,\% de los núcleos de la muestra anterior. (1 punto) Datos (de la tabla del examen): 1\,\text{año} = 3{,}16 \times 10^{7}\,\text{s}; 1\,\text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg}; N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}.

- a) \lambda = 9{,}06\cdot10^{-13}\,\text{s}^{-1} (2{,}86\cdot10^{-5}\,\text{año}^{-1}). - b) N = 2{,}52\cdot10^{18} núcleos; A = 2{,}3\cdot10^{6}\,\text{Bq}. - c) t = 2\,T_{1/2} = 48\,400 años (1{,}53\cdot10^{12}\,\text{s}).

FísicaFácilProblema · 2,5 pts

Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

Enunciado

La masa de un núcleo de

^{239}\text{Pu}

(plutonio) es

239{,}05\,\text{u}

y su periodo de semidesintegración es

24\,200

años. Determina:

a) La constante de desintegración

\lambda

. (0,5 puntos)

b) La actividad de una muestra de

1{,}0\,\text{mg}

^{239}\text{Pu}

. (1 punto)

c) El tiempo necesario para que quede el

25\,\%

de los núcleos de la muestra anterior. (1 punto)

Datos (de la tabla del examen):

1\,\text{año} = 3{,}16 \times 10^{7}\,\text{s}

;

1\,\text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg}

;

N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

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Resultado

a) $\lambda = 9{,}06\cdot10^{-13}\,\text{s}^{-1}$ ( $2{,}86\cdot10^{-5}\,\text{año}^{-1}$ ).
b) $N = 2{,}52\cdot10^{18}$ núcleos; $A = 2{,}3\cdot10^{6}\,\text{Bq}$ .
c) $t = 2\,T_{1/2} = 48\,400$ años ( $1{,}53\cdot10^{12}\,\text{s}$ ).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La constante de desintegración y el periodo de semidesintegración están ligados por

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

; para que la actividad salga en becquerelios (desintegraciones por segundo) conviene pasar el periodo a segundos. La actividad es

A = \lambda N

, así que necesitamos cuántos núcleos hay en un miligramo: lo sacamos dividiendo la masa de la muestra entre la masa de un núcleo. Para c), quedar el 25 % es quedar un cuarto, que son justo dos mitades: dos periodos de semidesintegración.

Desarrollo

a) Periodo en segundos.

T_{1/2} = 24\,200\cdot3{,}16\cdot10^{7} = 7{,}65\cdot10^{11}\,\text{s}

Constante de desintegración.

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{7{,}65\cdot10^{11}} = 9{,}06\cdot10^{-13}\,\text{s}^{-1}

(En años,

\lambda = \ln2/24\,200 = 2{,}86\cdot10^{-5}\,\text{año}^{-1}

.)

b) Número de núcleos. La masa de un núcleo es

m_\text{núcleo} = 239{,}05\cdot1{,}66\cdot10^{-27} = 3{,}97\cdot10^{-25}\,\text{kg}

, y la muestra tiene

1{,}0\,\text{mg} = 1{,}0\cdot10^{-6}\,\text{kg}

N = \frac{m}{m_\text{núcleo}} = \frac{1{,}0\cdot10^{-6}}{239{,}05\cdot1{,}66\cdot10^{-27}} = 2{,}52\cdot10^{18}\ \text{núcleos}

Lo mismo sale por moles, tomando la masa molar como

239{,}05\,\text{g/mol}

n = 1{,}0\cdot10^{-3}/239{,}05 = 4{,}18\cdot10^{-6}\,\text{mol}

N = n\,N_A = 2{,}52\cdot10^{18}

.

Actividad.

A = \lambda N = 9{,}06\cdot10^{-13}\cdot2{,}52\cdot10^{18} = 2{,}3\cdot10^{6}\,\text{Bq}

En la muestra se producen unos 2,3 millones de desintegraciones por segundo.

c) Planteamiento. Por la ley de desintegración,

N = N_0\,e^{-\lambda t}

, y queremos

N/N_0 = 0{,}25

0{,}25 = e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln(1/0{,}25)}{\lambda} = \frac{\ln 4}{\lambda} = \frac{2\ln2}{\lambda} = 2\,T_{1/2}

Relación con el periodo.

0{,}25 = \tfrac14 = \left(\tfrac12\right)^2

: en un periodo queda la mitad y en otro, la mitad de la mitad. Por tanto

t = 2\cdot24\,200 = 48\,400\ \text{años}\ \ (= 1{,}53\cdot10^{12}\,\text{s})

Consejo

Para que la actividad salga en becquerelios, $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ : si la dejas en $\text{año}^{-1}$ obtendrás desintegraciones por año. Usa el valor del año que da la tabla del examen ( $3{,}16\cdot10^7\,\text{s}$ ) y no otro. En el apartado c), aunque se vea a ojo que son dos periodos, escribe la ley de desintegración y el planteamiento $N/N_0 = 0{,}25$ : el corrector puntúa el razonamiento paso a paso.