FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

Enunciado

Una masa

m = 0{,}30\,\text{kg}

se encuentra sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle horizontal. El sistema describe un movimiento vibratorio armónico. La energía cinética máxima de la masa es

K_\text{máx} = 15\,\text{J}

.

Se sabe que la distancia entre las dos posiciones extremas (aquellas en las que la velocidad de la masa es nula) es de

50\,\text{cm}

.

a) Calcula la amplitud

A

del movimiento, la frecuencia angular

\omega

y el período

T

. (1 punto)

b) Determina la constante elástica

k

del muelle. (0,5 puntos)

c) Determina la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante

t = 3\,\text{s}

, sabiendo que en

t = 0

la masa tiene su energía cinética máxima y se mueve en el sentido positivo del eje

x

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) $A = 0{,}25\,\text{m}$ ; $\omega = 40\,\text{rad/s}$ ; $T = 0{,}157\,\text{s}$ .
b) $k = 480\,\text{N/m}$ .
c) Con $x(t) = 0{,}25\,\text{sen}(40t)$ : $x(3) = 0{,}145\,\text{m}$ ; $v(3) = 8{,}14\,\text{m/s}$ ; $a(3) = -232\,\text{m/s}^2$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos posiciones extremas están a

+A

-A

, así que su distancia es

2A

. La energía cinética máxima se alcanza en el centro, donde toda la energía es cinética:

K_\text{máx} = \tfrac12 m\,v_\text{máx}^2 = \tfrac12 m\,\omega^2A^2

, y de ahí sale

\omega

. La constante del muelle es

k = m\,\omega^2

. Para c) escribimos la ecuación del movimiento con la fase que cumple las condiciones iniciales (en el centro y hacia

+x

: un seno sin desfase), y la evaluamos en

t = 3\,\text{s}

con la calculadora en radianes.

Desarrollo

a) Amplitud. Entre los dos extremos hay dos amplitudes:

2A = 0{,}50\,\text{m}\quad\Longrightarrow\quad A = 0{,}25\,\text{m}

Frecuencia angular. En el punto de equilibrio la velocidad es máxima,

v_\text{máx} = \omega A

, y toda la energía es cinética:

K_\text{máx} = \tfrac12\,m\,\omega^2A^2\quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{2K_\text{máx}}{m\,A^2}} = \sqrt{\frac{2\cdot15}{0{,}30\cdot0{,}25^2}} = \sqrt{1600} = 40\,\text{rad/s}

Periodo.

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{40} = 0{,}157\,\text{s}

b) Constante elástica. Para una masa unida a un muelle,

\omega = \sqrt{k/m}

k = m\,\omega^2 = 0{,}30\cdot40^2 = 480\,\text{N/m}

Se comprueba con la energía total, que es la potencial en un extremo:

E = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12\cdot480\cdot0{,}25^2 = 15\,\text{J} = K_\text{máx}

.

c) Ecuación del movimiento. Escribimos

x(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)

. En

t = 0

la energía cinética es máxima, así que la masa está en el centro,

x(0) = 0

; y se mueve hacia

+x

v(0) > 0

x(0) = A\,\text{sen}\,\varphi_0 = 0,\qquad v(0) = A\omega\cos\varphi_0 > 0\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = 0

x(t) = 0{,}25\,\text{sen}(40\,t)\ \text{m}

Derivando:

v(t) = A\omega\cos(\omega t) = 10\cos(40\,t)\ \text{m/s},\qquad a(t) = -A\omega^2\,\text{sen}(\omega t) = -400\,\text{sen}(40\,t)\ \text{m/s}^2

Valores en $t = 3\,\text{s}$ . La fase es

\omega t = 120\,\text{rad}

(en radianes, no en grados):

\text{sen}\,120 = 0{,}581

\cos 120 = 0{,}814

x(3) = 0{,}25\cdot0{,}581 = 0{,}145\,\text{m}

v(3) = 10\cdot0{,}814 = 8{,}14\,\text{m/s}

a(3) = -400\cdot0{,}581 = -232\,\text{m/s}^2

Interpretación. La masa está a la derecha del centro, moviéndose hacia

+x

(alejándose del equilibrio) y frenando: la aceleración apunta hacia el centro, como debe ser en un MAS (

a = -\omega^2x

-1600\cdot0{,}145 = -232\,\text{m/s}^2

). Comprobación con la energía:

\tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = 9{,}94 + 5{,}06 = 15\,\text{J}

Consejo

El fallo típico de este problema es calcular $\text{sen}(120)$ con la calculadora en grados: da $0{,}866$ y todo el apartado c) sale mal. La fase $\omega t$ está en radianes. Además, justifica la fase inicial con las condiciones del enunciado (centro y hacia $+x$ ): el corrector puntúa por separado la ecuación del movimiento y cada uno de los tres valores.