Problema resuelto de Física: Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

a.1) Expresiones de las fuerzas.$$\vec F_E = q\,\vec E,\qquad \vec F_B = q\,(\vec v\times\vec B)$$Sentidos. Tomamos $\vec v = v\,\vec\imath$ (hacia la derecha) y $\vec B = B\,\vec k$ (saliendo del papel). Entonces$$\vec F_B = q\,v\,B\,(\vec\imath\times\vec k) = -\,q\,v\,B\,\vec\jmath$$La fuerza magnética sobre el ion positivo apunta hacia abajo. Para que la eléctrica la compense debe apuntar hacia arriba, y como $q > 0$, el campo eléctrico va hacia arriba: $\vec E = E\,\vec\jmath$ (por ejemplo, con la placa positiva abajo y la negativa arriba).

Esquema. Se dibuja el ion entrando por la izquierda con $\vec v$ horizontal hacia la derecha; $\vec B$ como un punto dentro de un círculo ($\odot$, saliendo del papel); $\vec E$ vertical hacia arriba; y sobre el ion, $\vec F_E$ hacia arriba y $\vec F_B$ hacia abajo, de igual longitud.

a.2) Condición de no desviación. Si el ion no se desvía, sigue en línea recta con velocidad constante, así que la fuerza total es nula (primera ley de Newton):$$\vec F_E + \vec F_B = \vec 0\quad\Longrightarrow\quad q\,E = q\,v_0\,B\quad\Longrightarrow\quad v_0 = \frac{E}{B}$$Los iones más rápidos se desvían hacia abajo (gana la fuerza magnética) y los más lentos hacia arriba (gana la eléctrica): solo pasan por la rendija de salida los de velocidad $v_0$, sea cual sea su carga o su masa.

a.3) Cálculo.$$v_0 = \frac{3{,}0\cdot10^4}{0{,}15} = 2{,}0\cdot10^5\,\text{m/s}$$b) Movimiento en la región de deflexión. Solo actúa la fuerza magnética $\vec F = q\,(\vec v\times\vec B\,')$. Como $\vec v \perp \vec B\,'$, su módulo es $F = q\,v\,B'$ y su dirección es siempre perpendicular a la velocidad. Una fuerza perpendicular a la velocidad no realiza trabajo, así que no cambia la energía cinética ni el módulo de la velocidad: solo cambia su dirección. Y como su módulo $q v B'$ es constante, la aceleración normal es constante: el ion describe un movimiento circular uniforme en el plano perpendicular a $\vec B\,'$, y sale de la región tras media vuelta.

Hipótesis simplificadoras. El campo $\vec B\,'$ es perfectamente uniforme y perpendicular a la velocidad; se desprecian el peso del ion (del orden de $10^{-24}\,\text{N}$, frente a $10^{-14}\,\text{N}$ de la fuerza magnética), las interacciones entre iones y los choques con moléculas de gas (vacío); y el ion no radia ni es relativista ($v_0 \ll c$).

c.1) Radio de la trayectoria. La fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:$$q\,v_0\,B' = m\,\frac{v_0^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v_0}{q\,B'}$$$$r = \frac{1{,}0\cdot10^{-25}\cdot2{,}0\cdot10^{5}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot0{,}5} = \frac{2{,}0\cdot10^{-20}}{8{,}0\cdot10^{-20}} = 0{,}25\,\text{m}$$c.2) Relación carga/masa. Todos los iones que llegan a la región de deflexión tienen la misma velocidad $v_0 = E/B$ (la fija el selector). Despejando de c.1):$$\frac{q}{m} = \frac{v_0}{r\,B'} = \frac{E}{B\,B'\,r}$$Con $E$, $B$ y $B'$ fijos, $q/m$ es inversamente proporcional al radio: basta medir dónde impacta el ion sobre la placa detectora (a una distancia $2r$ del punto de entrada, tras media vuelta) para obtener $r$ y, de ahí, $q/m$. Para iones de la misma carga, $r \propto m$: los más pesados describen circunferencias mayores y llegan más lejos, de modo que isótopos distintos de un mismo elemento caen en puntos distintos. Comparando con el ion de calibración, $\dfrac{(q/m)}{(q/m)_\text{cal}} = \dfrac{r_\text{cal}}{r}$.