Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Tomamos $\vec v = 3{,}0\cdot 10^{5}\,\vec i\ \text{m/s}$, $\vec E = 4{,}0\cdot 10^{4}\,\vec j\ \text{V/m}$ y $\vec B = 0{,}20\,\vec k\ \text{T}$.

a) Fuerza eléctrica (carga positiva: en el sentido del campo, hacia arriba):$$\vec F_E = q\,\vec E = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4{,}0\cdot 10^{4}\,\vec j = 6{,}4\cdot 10^{-15}\,\vec j\ \text{N}$$Fuerza magnética. Como $\vec i\times\vec k = -\vec j$:$$\vec F_B = q\,\vec v\times\vec B = q\,v\,B\,(\vec i\times\vec k) = -1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 3{,}0\cdot 10^{5}\cdot 0{,}20\,\vec j = -9{,}6\cdot 10^{-15}\,\vec j\ \text{N}$$(Regla de la mano derecha: los dedos de $\vec v$, hacia la derecha, giran hacia $\vec B$, que sale del papel; el pulgar apunta hacia abajo, y la carga es positiva.)

Fuerza total:$$\vec F = \vec F_E + \vec F_B = \left(6{,}4 - 9{,}6\right)\cdot 10^{-15}\,\vec j = -3{,}2\cdot 10^{-15}\,\vec j\ \text{N}$$La fuerza magnética es mayor que la eléctrica, así que la fuerza neta, de $3{,}2\cdot 10^{-15}\ \text{N}$, apunta hacia abajo: la partícula se desvía hacia abajo. Ocurre porque entra más deprisa que la velocidad que el selector deja pasar (apartado c).

b) Al entrar, la fuerza neta es perpendicular a la velocidad: solo cambia su dirección y actúa como fuerza centrípeta. El radio de curvatura en ese instante es$$|\vec F| = \frac{m\,v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v^2}{|\vec F|} = \frac{2\cdot 10^{-26}\cdot (3{,}0\cdot 10^{5})^2}{3{,}2\cdot 10^{-15}} = 0{,}563\ \text{m}$$La trayectoria no es una circunferencia (al curvarse, la fuerza eléctrica deja de ser perpendicular a la velocidad); este es solo el radio en el instante de entrada. Si actuara únicamente el campo magnético, el radio sería $R_B = \dfrac{m\,v}{q\,B} = \dfrac{2\cdot 10^{-26}\cdot 3{,}0\cdot 10^{5}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}20} = 0{,}188\ \text{m}$: el campo eléctrico compensa parte de la fuerza magnética y la curva es más abierta.

c) Para que siga en línea recta, la fuerza total debe ser nula: la fuerza eléctrica y la magnética tienen que tener el mismo módulo y sentidos opuestos (ya los tienen, hacia arriba y hacia abajo). Por tanto, los campos han de ser perpendiculares entre sí y a la velocidad, y$$q\,E = q\,v\,B\quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B} = \frac{4{,}0\cdot 10^{4}}{0{,}20} = 2{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$$La velocidad seleccionada no depende ni de la carga ni de la masa: el selector deja pasar sin desviar cualquier partícula que entre con $2{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$. Las más rápidas se desvían hacia abajo (como la del enunciado) y las más lentas, hacia arriba.