Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2026 · Julio

a) Igualdad de fuerzas. Suponemos que la sonda describe una circunferencia de radio $r$ (medido desde el centro de Marte) con velocidad de módulo constante. La única fuerza es la gravitatoria, que apunta al centro y hace de fuerza centrípeta:$$G\,\frac{M_\text{M}\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M_\text{M}}{r}} = \sqrt{\frac{\mu}{r}}$$Periodo. En una vuelta la sonda recorre $2\pi r$ a velocidad constante:$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\mu/r}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu}}$$La masa de la sonda se simplifica: el periodo no depende de ella.

Hipótesis del modelo. Marte se trata como una esfera homogénea (o una masa puntual en su centro), con $M_\text{M} \gg m$, de modo que Marte está quieto y no se mueve por la atracción de la sonda; la órbita es circular y uniforme; solo actúa la gravedad de Marte (se desprecian el Sol, las lunas Fobos y Deimos y el rozamiento con la atmósfera).

Datos previos. $\mu = G M_\text{M} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6{,}39\cdot10^{23} = 4{,}26\cdot10^{13}\,\text{m}^3\,\text{s}^{-2}$ y los radios orbitales son$$r_1 = R_\text{M} + h_1 = 3{,}39\cdot10^6 + 0{,}25\cdot10^6 = 3{,}64\cdot10^6\,\text{m},\qquad r_2 = R_\text{M} + h_2 = 9{,}39\cdot10^6\,\text{m}$$b.1) Campo gravitatorio en la órbita baja.$$g(h_1) = \frac{G M_\text{M}}{r_1^2} = \frac{4{,}26\cdot10^{13}}{(3{,}64\cdot10^6)^2} = 3{,}22\,\text{m/s}^2$$$$\frac{g(h_1)}{g_0} = \frac{3{,}22}{9{,}8} = 0{,}33\approx\frac13$$En la órbita baja la gravedad es aproximadamente un tercio de la de la superficie terrestre.

b.2) Velocidad orbital y periodo.$$v_1 = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} = \sqrt{\frac{4{,}26\cdot10^{13}}{3{,}64\cdot10^6}} = 3{,}42\cdot10^3\,\text{m/s}$$$$T_1 = \frac{2\pi r_1}{v_1} = \frac{2\pi\cdot3{,}64\cdot10^6}{3{,}42\cdot10^3} = 6{,}68\cdot10^3\,\text{s}\approx 1{,}86\,\text{h}$$b.3) Órbita alta. Como $r_2 > r_1$:

• $v \propto r^{-1/2}$: al aumentar el radio la velocidad disminuye, $v_2 < v_1$. Más lejos el campo es más débil y basta menos velocidad para mantener la órbita.
• $T \propto r^{3/2}$: al aumentar el radio el periodo aumenta, $T_2 > T_1$. La sonda tiene que recorrer una circunferencia más larga y además va más despacio.

c.1) Constante de Kepler. Calculamos $k = T^2/r^3$ para cada objeto (en unidades del SI):A, B y C dan prácticamente el mismo valor (difieren menos de un 0,3 %), con media $k \approx 9{,}26\cdot10^{-13}\,\text{s}^2/\text{m}^3$.

Masa de Marte. De a), $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G M}\,r^3$, luego $k = \dfrac{4\pi^2}{G M}$ y$$M = \frac{4\pi^2}{G\,k} = \frac{4\pi^2}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 9{,}26\cdot10^{-13}} = 6{,}4\cdot10^{23}\,\text{kg}$$que coincide con el dato de la tabla.

c.2) Objeto anómalo. El objeto D da $k_D = 1{,}60\cdot10^{-12}\,\text{s}^2/\text{m}^3$, un 73 % mayor que los demás: no cumple la relación (no describe una órbita circular de ese radio alrededor de Marte, o sus datos son erróneos).

c.3) Predicción. Con la constante de A, B y C:$$T = \sqrt{k\,r^3} = \sqrt{9{,}26\cdot10^{-13}\cdot(1{,}50\cdot10^7)^3} = 5{,}59\cdot10^4\,\text{s}\approx 15{,}5\,\text{h}$$Es razonable: el radio está entre los de B y C, y el periodo también.