FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo magnético creado por corrientes

Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Enunciado
Un hilo rectilíneo paralelo al eje zz, que pasa por el punto (4, 0) m(4,\,0)\ \text{m} del plano xyxy, lleva una intensidad de corriente I1=2 AI_1 = 2\,\text{A} en sentido positivo del eje zz. Otro hilo, paralelo al anterior, que pasa por el punto (0, 5) m(0,\,5)\ \text{m} del plano xyxy lleva una intensidad I2=3 AI_2 = 3\,\text{A} en sentido negativo del eje zz.

a) (1,5 puntos) Determine el campo magnético en el origen del plano xyxy.

b) (1 punto) Halle el módulo de la fuerza magnética por unidad de longitud entre los hilos.

Dato: Permeabilidad del vacío, μ0=4π⋅10−7 T m A−1\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}.
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Resultado
  B⃗(0,0)=(−1,2 i⃗−1,0 j⃗)⋅10−7 T∣B⃗∣=1,56⋅10−7 T  \boxed{\;\vec B(0,0) = \left(-1{,}2\,\vec i - 1{,}0\,\vec j\right)\cdot 10^{-7}\ \text{T}\qquad |\vec B| = 1{,}56\cdot 10^{-7}\ \text{T}\;}  FL=1,87⋅10−7 N/m (repulsiva)  \boxed{\;\frac{F}{L} = 1{,}87\cdot 10^{-7}\ \text{N/m}\ \text{(repulsiva)}\;}
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Estrategia

Dibuja el plano xyxy visto desde arriba (con el eje zz saliendo del papel): el hilo 1 atraviesa el plano en (4,0)(4,0) con la corriente saliendo y el hilo 2 en (0,5)(0,5) con la corriente entrando.

Cada hilo crea en el origen un campo de módulo μ0I/2πr\mu_0 I/2\pi r, tangente a la circunferencia centrada en el hilo; el sentido lo da la regla de la mano derecha. El campo total es la suma vectorial de los dos.

Para la fuerza entre hilos basta la fórmula de conductores paralelos con la distancia entre ellos, que es la hipotenusa del triángulo de catetos 4 y 5. Como las corrientes van en sentidos opuestos, los hilos se repelen.
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Desarrollo

a) Campo del hilo 1. Está a r1=4 mr_1 = 4\,\text{m} del origen:B1=μ0I12πr1=4π⋅10−7⋅22π⋅4=1,0⋅10−7 TB_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 4} = 1{,}0\cdot 10^{-7}\ \text{T}Dirección: el sentido es el de u⃗I×u⃗r\vec u_I\times\vec u_r, siendo u⃗r\vec u_r el vector unitario que va del hilo al punto. Del hilo (4,0)(4,0) al origen, u⃗r=−i⃗\vec u_r = -\vec i, y la corriente va según +k⃗+\vec k:k⃗×(−i⃗)=−j⃗⟹B⃗1=−1,0⋅10−7 j⃗ T\vec k\times(-\vec i) = -\vec j\quad\Longrightarrow\quad \vec B_1 = -1{,}0\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{T}Campo del hilo 2. Está a r2=5 mr_2 = 5\,\text{m} del origen:B2=μ0I22πr2=4π⋅10−7⋅32π⋅5=1,2⋅10−7 TB_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 3}{2\pi\cdot 5} = 1{,}2\cdot 10^{-7}\ \text{T}Del hilo (0,5)(0,5) al origen, u⃗r=−j⃗\vec u_r = -\vec j, y la corriente va según −k⃗-\vec k:(−k⃗)×(−j⃗)=k⃗×j⃗=−i⃗⟹B⃗2=−1,2⋅10−7 i⃗ T(-\vec k)\times(-\vec j) = \vec k\times\vec j = -\vec i\quad\Longrightarrow\quad \vec B_2 = -1{,}2\cdot 10^{-7}\,\vec i\ \text{T}Por el principio de superposición:B⃗=B⃗1+B⃗2=(−1,2 i⃗−1,0 j⃗)⋅10−7 T\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 = \left(-1{,}2\,\vec i - 1{,}0\,\vec j\right)\cdot 10^{-7}\ \text{T}y su módulo es∣B⃗∣=1,22+1,02⋅10−7=1,56⋅10−7 T|\vec B| = \sqrt{1{,}2^2 + 1{,}0^2}\cdot 10^{-7} = 1{,}56\cdot 10^{-7}\ \text{T}b) La distancia entre los hilos es la que separa los puntos (4,0)(4,0) y (0,5)(0,5):d=42+52=41=6,40 md = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41} = 6{,}40\ \text{m}Fuerza por unidad de longitud entre dos conductores rectilíneos y paralelos:FL=μ0 I1 I22πd=4π⋅10−7⋅2⋅32π⋅6,40=1,87⋅10−7 N/m\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2\cdot 3}{2\pi\cdot 6{,}40} = 1{,}87\cdot 10^{-7}\ \text{N/m}Como las corrientes tienen sentidos opuestos, la fuerza es de repulsión.
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Consejo

El campo de un hilo es perpendicular a la recta que une el hilo con el punto, no paralelo a ella. Un error típico es poner B⃗1\vec B_1 según i⃗\vec i porque el hilo está sobre el eje xx.

Para el sentido, usa u⃗I×u⃗r\vec u_I\times\vec u_r con u⃗r\vec u_r apuntando del hilo al punto, o la mano derecha: pulgar en el sentido de la corriente y los dedos dan el giro de las líneas de campo.
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