Campo magnético creado por corrientes

a) El vector que va del hilo al punto, en el plano $xy$:$$\vec r_1 = (4 - 0,\ 2 - 6) = (4,\,-4)\ \text{cm}\qquad d_1 = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\ \text{cm} = 5{,}66\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$Módulo del campo:$$B_1 = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d_1} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5}{2\pi\cdot 5{,}66\cdot 10^{-2}} = 1{,}77\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$Dirección: el producto vectorial del sentido de la corriente por el unitario que va del hilo al punto:$$\vec u_B = \vec k\times\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}} = \frac{\vec j + \vec i}{\sqrt{2}}$$$$\vec B_1 = 1{,}77\cdot 10^{-5}\,\frac{\vec i + \vec j}{\sqrt{2}} = 1{,}25\cdot 10^{-5}\,(\vec i + \vec j)\ \ \text{T}$$Es perpendicular a la línea discontinua de la figura (que tiene dirección $\vec i - \vec j$), como debe ser.

b) El segundo hilo pasa por $(6,\,0,\,0)$. Del hilo al punto:$$\vec r_2 = (4 - 6,\ 2 - 0) = (-2,\,2)\ \text{cm}\qquad d_2 = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\ \text{cm} = 2{,}83\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$Sentido de la corriente. Probamos con la corriente en $+z$:$$\vec u_B = \vec k\times\frac{-\vec i + \vec j}{\sqrt{2}} = \frac{-\vec j - \vec i}{\sqrt{2}} = -\frac{\vec i + \vec j}{\sqrt{2}}$$Es justo el sentido opuesto a $\vec B_1$, así que la segunda corriente también debe ir en el sentido positivo del eje $z$ (con la corriente en $-z$ los campos se sumarían). Tiene sentido: el punto está entre los dos hilos, y entre dos corrientes paralelas del mismo sentido sus campos se oponen.

Valor de la corriente. Igualamos los módulos:$$\frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,d_1} = \frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,d_2} \quad\Longrightarrow\quad I_2 = I_1\,\frac{d_2}{d_1} = 5\cdot\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 2{,}5\ \text{A}$$El segundo hilo está a la mitad de distancia del punto, así que le basta la mitad de corriente.