Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Del movimiento del punto $x = 1\,\text{m}$ leemos la amplitud y la frecuencia angular:$$A = 2\ \text{cm} = 0{,}02\ \text{m}\qquad \omega = 6\pi\ \text{rad/s}$$Velocidad de propagación, número de onda y longitud de onda están relacionados por $v = \omega/k$:$$k = \frac{\omega}{v} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi\ \text{rad/m}\qquad \lambda = \frac{2\pi}{k} = 1\ \text{m}$$La onda viaja en el sentido positivo de $x$, así que su fase es $\omega t - kx + \phi$:$$y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \phi)$$En $x = 1\,\text{m}$ esa fase debe coincidir con la del enunciado:$$6\pi t - 2\pi\cdot 1 + \phi = 6\pi t - \frac{7\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad \phi = 2\pi - \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}$$b) Expresión de la onda (con $x$ en m y $t$ en s):$$y(x,t) = 0{,}02\cos\!\left(6\pi t - 2\pi x + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{m}$$Comprobación: en $x = 1\,\text{m}$ la fase es $6\pi t - 2\pi + \pi/4 = 6\pi t - 7\pi/4$, como debe ser.

c) La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda es la derivada de $y$ respecto al tiempo (con $x$ fijo):$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}02\cdot 6\pi\,\sin\!\left(6\pi t - 2\pi x + \frac{\pi}{4}\right) = -0{,}12\pi\,\sin\!\left(6\pi t - 2\pi x + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{m/s}$$En $x = 2\,\text{m}$ y $t = 3\,\text{s}$ la fase vale $18\pi - 4\pi + \pi/4 = 14\pi + \pi/4$, que equivale a $\pi/4$ (se puede quitar cualquier múltiplo de $2\pi$):$$v_y = -0{,}12\pi\,\sin\frac{\pi}{4} = -0{,}12\pi\cdot\frac{\sqrt 2}{2} = -0{,}267\ \text{m/s}$$El signo menos indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo (sentido negativo del eje $y$).

La velocidad máxima de oscilación se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$, al pasar por la posición de equilibrio:$$v_{\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}02\cdot 6\pi = 0{,}12\pi = 0{,}377\ \text{m/s}$$