Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) En la figura (a), los puntos del medio se desplazan como mucho $4\,\text{cm}$ hacia arriba o hacia abajo:$$A = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}$$La distancia entre dos máximos consecutivos ($x = 4{,}5\,\text{m}$ y $x = 10{,}5\,\text{m}$), o entre dos ceros en los que la onda sube, es la longitud de onda: $\lambda = 6\,\text{m}$. El número de ondas es:$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \approx 1{,}05\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$b) Derivamos la ecuación de la onda respecto al tiempo para tener la velocidad de oscilación:$$v(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx + \phi)$$En la figura (a), el punto $x = 0$ está en $y = 0$ en el instante $t = 0$:$$y(0,0) = A\,\text{sen}\,\phi = 0\quad\Longrightarrow\quad \phi = 0\ \ \text{o}\ \ \phi = \pi$$En la figura (b), la velocidad de ese punto en $t = 0$ es máxima y positiva:$$v(0,0) = A\omega\cos\phi > 0\quad\Longrightarrow\quad \cos\phi = 1\quad\Longrightarrow\quad \phi = 0$$Comprobación con la figura (a): con $\phi = 0$, en $t = 0$ queda $y(x,0) = A\,\text{sen}(-kx) = -A\,\text{sen}(kx)$, que se hace negativa justo a la derecha de $x = 0$ (mínimo en $x = 1{,}5\,\text{m}$), tal como se ve.

Para la velocidad máxima necesitamos $\omega$. En la figura (b), la velocidad del punto $x = 0$ es máxima en $t = 0$ y vuelve a serlo en $t = 4\,\text{s}$, así que el periodo es $T = 4\,\text{s}$:$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$$$v_{\text{máx}} = A\omega = 0{,}04\cdot\frac{\pi}{2} = 6{,}28\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es el valor de los máximos de la figura (b) ($\approx 0{,}063$). Ojo: el eje de esa gráfica está rotulado en $\text{cm}\,\text{s}^{-1}$, pero con $A = 4\,\text{cm}$ y $T = 4\,\text{s}$ la velocidad máxima es $6{,}28\,\text{cm/s}$, es decir, $0{,}0628\,\text{m/s}$: las cifras del eje están en $\text{m}\,\text{s}^{-1}$.

c) La onda avanza una longitud de onda en cada periodo:$$v_p = \frac{\lambda}{T} = \frac{6}{4} = 1{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$La ecuación completa es $y(x,t) = 0{,}04\,\text{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\,t - \dfrac{\pi}{3}\,x\right)$ (SI). Puedes verla congelada en $t = 0$, como en la figura (a), siguiendo el punto $x = 0$: