FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2025 · Junio

Enunciado

Una ballena sumergida en el mar a una cierta profundidad emite un potente sonido grave de

60\,\text{Hz}

25\,\text{m}

de longitud de onda. Un barco A, situado sobre su vertical, detecta dicho sonido con su sónar

80\,\text{ms}

después de ser emitido, y poco tiempo después es detectado por otro barco B situado a

300\,\text{m}

del barco A.

a) (1 punto) Halle la profundidad a la que se encuentra la ballena.

b) (1,5 puntos) Si el barco A recibe el sonido con una intensidad de

3\,\mu\text{W}\,\text{m}^{-2}

, calcule la potencia del sonido emitido por la ballena y el nivel de intensidad sonora que detectará el barco B.

Dato: Intensidad umbral,

I_0 = 1\cdot 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;h = 120\ \text{m}\;}

\boxed{\;P = 0{,}543\ \text{W}\qquad I_B = 4{,}14\cdot 10^{-7}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad \beta_B = 56{,}2\ \text{dB}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no nos dan la velocidad del sonido en el agua, pero sí la frecuencia y la longitud de onda:

v = \lambda f

. Como el barco A está justo encima, el sonido recorre en vertical la profundidad de la ballena, y con la velocidad y el tiempo la sacamos.

En b) tratamos a la ballena como una fuente puntual que emite por igual en todas direcciones: la potencia se reparte sobre esferas cada vez mayores, y la intensidad baja con el cuadrado de la distancia. Con la intensidad en A (a distancia

h

) sale la potencia; el barco B está más lejos (la hipotenusa del triángulo que forman la ballena, A y B), y de su intensidad pasamos a decibelios.

Desarrollo

a) Velocidad de propagación del sonido en el agua:

v = \lambda f = 25\cdot 60 = 1500\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

El sonido sube en vertical hasta el barco A en

t = 80\,\text{ms} = 0{,}080\,\text{s}

, así que la profundidad es:

h = v\,t = 1500\cdot 0{,}080 = 120\ \text{m}

b) Para una fuente puntual que emite uniformemente, la intensidad a una distancia

r

es la potencia repartida en una esfera de radio

r

I = \frac{P}{4\pi r^2}

En el barco A,

r = h = 120\,\text{m}

I_A = 3\,\mu\text{W}\,\text{m}^{-2} = 3\cdot 10^{-6}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

P = 4\pi h^2 I_A = 4\pi\,(120)^2\cdot 3\cdot 10^{-6} = 0{,}543\ \text{W}

Esquema: la ballena a una profundidad h bajo el barco A; el barco B, en la superficie, a D = 300 m de A. El sonido llega a A recorriendo h en vertical y a B recorriendo la hipotenusa d

Distancia de la ballena al barco B (teorema de Pitágoras, con

D = 300\,\text{m}

entre los barcos):

d = \sqrt{D^2 + h^2} = \sqrt{300^2 + 120^2} = 323\ \text{m}

Intensidad en B. Lo más limpio es comparar con A, porque la potencia se cancela:

\frac{I_B}{I_A} = \frac{h^2}{d^2} \quad\Longrightarrow\quad I_B = 3\cdot 10^{-6}\cdot\frac{120^2}{300^2 + 120^2} = 4{,}14\cdot 10^{-7}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Nivel de intensidad sonora en B:

\beta_B = 10\log\frac{I_B}{I_0} = 10\log\frac{4{,}14\cdot 10^{-7}}{1\cdot 10^{-12}} = 56{,}2\ \text{dB}

Para comparar: en el barco A el nivel es

10\log(3\cdot 10^{6}) = 64{,}8\,\text{dB}

. B está a casi el triple de distancia, recibe unas siete veces menos intensidad y unos

8{,}6\,\text{dB}

menos.

Consejo

No uses la velocidad del sonido en el aire ( $340\,\text{m/s}$ ): el enunciado te da $f$ y $\lambda$ precisamente para que calcules la del agua, que es mucho mayor.

La distancia al barco B no es $300\,\text{m}$ : es la hipotenusa, porque la ballena está bajo el agua. Y en el nivel sonoro el logaritmo es decimal; el cociente $I/I_0$ va sin unidades.