Óptica geométrica: lentes y espejos

Criterio de signos (DIN): origen en el vértice del espejo, la luz llega de izquierda a derecha y las distancias son positivas hacia la derecha. Así, el objeto real está a la izquierda ($s < 0$) y en un espejo cóncavo el centro y el foco están delante del espejo, también a la izquierda:$$s = -40\ \text{cm}\qquad R = -30\ \text{cm}\qquad f = \frac{R}{2} = -15\ \text{cm}$$a) Ecuación de los espejos esféricos:$$\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{2}{R}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s'} = \frac{2}{-30} - \frac{1}{-40} = -0{,}0667 + 0{,}025 = -0{,}0417\ \text{cm}^{-1}$$$$s' = -24\ \text{cm}$$La imagen está $24\,\text{cm}$ delante del espejo (al mismo lado que el objeto), así que es real: se forma con los rayos reflejados de verdad.

Aumento lateral de un espejo:$$\beta = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s} = -\frac{-24}{-40} = -0{,}6$$$$y' = \beta\,y = -0{,}6\cdot 5 = -3\ \text{cm}$$El signo negativo indica que la imagen está invertida, y $|\beta| < 1$ que es menor que el objeto.

b) Diagrama de rayos. Se dibuja el eje óptico, el espejo cóncavo a la derecha, el centro de curvatura $C$ a $30\,\text{cm}$ y el foco $F$ a $15\,\text{cm}$ del vértice, y el objeto (una flecha hacia arriba) a $40\,\text{cm}$, más a la izquierda que $C$. Desde la punta del objeto se trazan dos rayos:

• El rayo paralelo al eje llega al espejo y se refleja pasando por el foco $F$.
• El rayo que pasa por el centro de curvatura $C$ incide perpendicular al espejo y vuelve sobre sí mismo.

(Un tercero, el que pasa por el foco antes de llegar al espejo, sale reflejado paralelo al eje.) Los rayos reflejados se cortan por debajo del eje, entre $F$ y $C$, a $24\,\text{cm}$ del espejo: ahí está la punta de la imagen, una flecha hacia abajo de $3\,\text{cm}$. Imagen real, invertida y menor.

c) Para que la imagen sea invertida y del mismo tamaño, el aumento debe valer $-1$:$$\beta = -\frac{s'}{s} = -1\quad\Longrightarrow\quad s' = s$$Sustituyendo en la ecuación del espejo:$$\frac{1}{s} + \frac{1}{s} = \frac{2}{R}\quad\Longrightarrow\quad s = R = -30\ \text{cm}$$El objeto debe colocarse en el centro de curvatura, a $30\,\text{cm}$ delante del espejo, y su imagen se forma en el mismo punto. Tiene sentido: el rayo que sale de la punta hacia el vértice se refleja simétrico respecto al eje y el que pasa por $C$ vuelve sobre sí mismo, así que se cortan justo debajo, a la misma distancia.