FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2026 · Junio

Enunciado

Dos masas puntuales,

m_1 = 2\,\text{kg}

m_2 = 4\,\text{kg}

, están situadas en el origen de coordenadas y en el punto

(4,\ 0)\,\text{m}

del plano

xy

, respectivamente. Calcule:

a) (1,5 puntos) El punto del eje

x

entre ambas masas en el que el campo gravitatorio creado por las dos masas es nulo.

b) (1 punto) El campo gravitatorio total debido a ambas masas en el punto

(0,\ 2)\,\text{m}

.

Dato: Constante de la Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec g = \vec 0\ \text{ en } (1{,}66,\ 0)\ \text{m}\;}

\boxed{\;\vec g(0,\ 2) = \left(1{,}19\,\vec i - 3{,}93\,\vec j\right)\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\qquad |\vec g| = 4{,}11\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo gravitatorio de cada masa apunta hacia ella. En un punto del segmento que las une, los dos campos tienen sentidos opuestos (uno tira hacia el origen y el otro hacia

x = 4\,\text{m}

), así que se anulan donde sus módulos sean iguales. Como

m_1

es la más pequeña, ese punto estará más cerca de $m_1$ .

En el punto

(0,\ 2)

ya no son opuestos: hay que dibujar cada vector, descomponerlo en componentes y sumarlos (principio de superposición).

Desarrollo

a) Sea

(x,\ 0)

el punto buscado, con

0 < x < 4

. Su distancia a

m_1

x

y a

m_2

4 - x

. Igualamos los módulos de los dos campos:

\frac{Gm_1}{x^2} = \frac{Gm_2}{(4-x)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{x^2} = \frac{4}{(4-x)^2}\quad\Longrightarrow\quad (4-x)^2 = 2x^2

Desarrollando queda la ecuación de segundo grado

x^2 + 8x - 16 = 0

, con soluciones

x = -4 \pm \sqrt{32}\quad\Longrightarrow\quad x = 1{,}66\ \text{m}\quad\text{o}\quad x = -9{,}66\ \text{m}

La segunda queda fuera del segmento entre las masas (allí los dos campos apuntan en el mismo sentido y no pueden anularse), así que la descartamos. (Más rápido: tomando raíces,

4 - x = \sqrt{2}\,x

, de donde

x = 4/(1+\sqrt{2})

x = \frac{4}{1+\sqrt{2}} = 1{,}66\ \text{m}\quad\Longrightarrow\quad \text{punto } (1{,}66,\ 0)\ \text{m}

Está más cerca de

m_1

, la masa menor, como esperábamos.

b) En

P(0,\ 2)

Campo de $m_1$ . La masa está a $r_1 = 2\,\text{m}$ , justo debajo de $P$ , así que su campo apunta hacia $-\vec j$ :

\vec g_1 = -\frac{Gm_1}{r_1^2}\,\vec j = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{2^2}\,\vec j = -3{,}34\cdot 10^{-11}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

Campo de $m_2$ . La distancia es $r_2 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}\,\text{m}$ y el campo apunta de $P$ hacia $m_2$ , según el vector $(4,\ -2)$ , cuyo unitario es $\tfrac{1}{\sqrt 5}(2,\ -1)$ :

g_2 = \frac{Gm_2}{r_2^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4}{20} = 1{,}334\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

\vec g_2 = 1{,}334\cdot 10^{-11}\left(\frac{2}{\sqrt 5}\,\vec i - \frac{1}{\sqrt 5}\,\vec j\right) = \left(1{,}19\,\vec i - 0{,}597\,\vec j\right)\cdot 10^{-11}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

Sumamos (superposición):

\vec g = \vec g_1 + \vec g_2 = \left(1{,}19\,\vec i - 3{,}93\,\vec j\right)\cdot 10^{-11}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

Su módulo es

|\vec g| = \sqrt{1{,}19^2 + 3{,}93^2}\cdot 10^{-11} = 4{,}11\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

.

En la simulación puedes colocar las dos masas, ver el punto de campo nulo y leer el campo en

(0,\ 2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de resolver la ecuación, piensa dónde puede estar el punto: entre dos masas los campos son opuestos y el punto nulo cae más cerca de la masa menor. Eso te dice qué raíz quedarte.

En el apartado b) no sumes módulos: dibuja cada vector apuntando hacia su masa y suma las componentes. Un truco para el unitario: el vector de $P$ a $m_2$ es $(4,\ -2)$ , que dividido entre su módulo $\sqrt{20}$ da directamente el coseno y el seno que necesitas.