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Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio

Enunciado

El radón (Rn) es un gas que aparece en las cadenas radiactivas naturales. En España, se calcula que entre 1500 y 2000 cánceres de pulmón al año son debidos a la desintegración del isótopo

^{222}\text{Rn}

acumulado en el interior de las casas, sobre todo en sótanos y edificios poco ventilados.

a) (1 punto) Sabiendo que la cantidad de átomos del

^{222}\text{Rn}

disminuye en un

16{,}6\,\%

en un día, calcule la constante de desintegración del

^{222}\text{Rn}

y su periodo de semidesintegración.

b) (1,5 puntos) Si disponemos inicialmente de

1\,\text{mg}

^{222}\text{Rn}

, ¿cuántos átomos se desintegrarán en nueve días?

Datos: Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

; masa atómica del radón 222,

M_{\text{Rn}} = 222\,\text{u}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 2{,}10\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\qquad T_{1/2} = 3{,}30\cdot 10^{5}\ \text{s} = 3{,}82\ \text{días}\;}

\boxed{\;\Delta N = 2{,}18\cdot 10^{18}\ \text{átomos desintegrados en nueve días}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que el número de átomos baje un

16{,}6\,\%

en un día significa que queda el

83{,}4\,\%

N/N_0 = 0{,}834

al cabo de

t = 1\,\text{día}

. Llevándolo a la ley de desintegración,

N = N_0\,e^{-\lambda t}

, el logaritmo da

\lambda

, y el periodo de semidesintegración es

\ln 2/\lambda

.

En b) primero contamos los átomos que hay en

1\,\text{mg}

(con la masa molar y el número de Avogadro). Los que se desintegran son los que faltan al cabo de nueve días:

N_0 - N = N_0\,(1 - e^{-\lambda t})

Desarrollo

a) Al cabo de un día (

t = 86\,400\,\text{s}

) queda el

100 - 16{,}6 = 83{,}4\,\%

de los átomos:

\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = 0{,}834\quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\frac{\ln 0{,}834}{t} = \frac{0{,}1815}{86\,400} = 2{,}10\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

\lambda = 0{,}1815\ \text{día}^{-1}

). El periodo de semidesintegración:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{2{,}10\cdot 10^{-6}} = 3{,}30\cdot 10^{5}\ \text{s} = 3{,}82\ \text{días}

Es el valor real del

^{222}\text{Rn}

: en menos de cuatro días se desintegra la mitad.

b) La masa molar del

^{222}\text{Rn}

222\,\text{g/mol}

. En

1\,\text{mg} = 10^{-3}\,\text{g}

hay:

N_0 = \frac{m}{M_{\text{Rn}}}\,N_A = \frac{10^{-3}}{222}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}71\cdot 10^{18}\ \text{átomos}

Al cabo de nueve días queda la fracción

\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = 0{,}834^{9} = e^{-9\cdot 0{,}1815} = 0{,}195

así que se ha desintegrado el

80{,}5\,\%

de los átomos:

\Delta N = N_0\left(1 - e^{-\lambda t}\right) = 2{,}71\cdot 10^{18}\cdot (1 - 0{,}195) = 2{,}18\cdot 10^{18}\ \text{átomos}

En la simulación, con la semivida del radón, la muestra se para a los nueve días y se lee la fracción que queda:

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Disminuye un $16{,}6\,\%$ » no es $N/N_0 = 0{,}166$ , sino lo que queda: $1 - 0{,}166 = 0{,}834$ . Si pones $0{,}166$ , te sale una semivida de unas horas.

No hace falta pasar $\lambda$ a segundos para el apartado b): con $\lambda$ en días $^{-1}$ y $t$ en días, $e^{-\lambda t}$ sale igual. Incluso más corto: en nueve días queda $0{,}834^{9}$ , porque cada día queda el $83{,}4\,\%$ de lo que había el anterior.