Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) En la gráfica de la izquierda, el punto $x = 1\,\text{m}$ pasa por el máximo en $t = 0{,}75\,\text{s}$ y otra vez en $t = 1{,}75\,\text{s}$:$$T = 1{,}75 - 0{,}75 = 1\ \text{s}$$En la gráfica de la derecha hay máximos en $x = 2\,\text{m}$ y en $x = 6\,\text{m}$, así que la longitud de onda es:$$\lambda = 6 - 2 = 4\ \text{m}$$El número de onda:$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \approx 1{,}57\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$Y en las dos gráficas la elongación va de $-3$ a $3\,\text{m}$:$$A = 3\ \text{m}$$b) La frecuencia angular es:$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Como la onda se propaga hacia $+x$, $\omega t$ y $kx$ van con signos opuestos:$$y(x,t) = 3\,\text{sen}\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{2}\,x + \varphi_0\right)$$En la gráfica de la derecha, el punto $x = 0$ está en $y = -3\,\text{m}$ en $t = 0$:$$y(0,0) = 3\,\text{sen}\,\varphi_0 = -3\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = -1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{3\pi}{2}\ \text{rad}$$(o, lo que es lo mismo, $-\pi/2$). Al ser un mínimo, $\text{sen}\,\varphi_0 = -1$ solo tiene una solución entre $0$ y $2\pi$: no hay que descartar ninguna.

Comprobamos con la gráfica de la izquierda. En $x = 1\,\text{m}$:$$y(1,t) = 3\,\text{sen}\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}\right) = 3\,\text{sen}(2\pi t + \pi) = -3\,\text{sen}(2\pi t)$$Vale $0$ en $t = 0$ y baja hasta $-3\,\text{m}$ en $t = 0{,}25\,\text{s}$, justo lo que muestra la gráfica. Las dos gráficas son coherentes con el sentido de propagación: en $t = 0$, los puntos que tiene a su izquierda el de $x = 1\,\text{m}$ están por debajo, y al avanzar la onda hacia la derecha ese punto baja.

La expresión de la onda es:$$y(x,t) = 3\,\text{sen}\!\left(2\pi t - \frac{\pi}{2}\,x + \frac{3\pi}{2}\right)\quad (\text{SI})$$Escrita con coseno queda $y(x,t) = 3\cos\!\left(2\pi t - \dfrac{\pi}{2}\,x + \pi\right) = -3\cos\!\left(2\pi t - \dfrac{\pi}{2}\,x\right)$: es la misma onda. Su velocidad de propagación es $v = \lambda/T = 4\,\text{m/s}$.

En la simulación, la onda queda congelada en $t = 0$ como en la gráfica de la derecha, siguiendo el punto $x = 1\,\text{m}$: