Un satélite de 50kg de masa describe inicialmente una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Para obtener el periodo de la órbita se mide el tiempo de tránsito del satélite desde el perigeo (P) hasta el apogeo (A), encontrándose un valor de 55759,5s. Se desea que pase a una órbita circular de radio rcir=8,2⋅104km alrededor de la Tierra, para lo cual se le proporciona un impulso instantáneo en la posición A (ver figura). Calcule:Órbita elíptica alrededor de la Tierra, que está en uno de sus focos, cerca del extremo derecho. El apogeo A está en el extremo izquierdo del eje mayor y el perigeo P en el derecho. Por A pasa también una circunferencia mayor, la órbita circular, centrada en la Tierra; en A hay una flecha roja tangente hacia abajo (el impulso). Bajo el eje se marcan r_a, de A al centro de la Tierra, y r_p, del centro de la Tierra a Pa) (1,2 puntos) El periodo, el semieje mayor y la distancia del centro de la Tierra al perigeo en la órbita elíptica. b) (0,6 puntos) La energía mecánica del satélite en la órbita elíptica sabiendo que la velocidad en el perigeo es igual a 6,0kms−1. c) (0,7 puntos) La energía mecánica del satélite en la órbita circular. Datos: Constante de la Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11Nm2kg−2; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024kg.
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Estrategia
Del perigeo al apogeo el satélite recorre media elipse, y por la segunda ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales) tarda exactamente medio periodo. Con el periodo, la tercera ley de Kepler da el semieje mayor a, que en una elipse hace el papel del radio. La figura dice cuánto vale la distancia al apogeo: la órbita circular pasa por A y está centrada en la Tierra, así que ra=rcir. Como el eje mayor mide 2a=ra+rp, de ahí sale el perigeo. La energía mecánica de la elipse se calcula en el perigeo, donde conocemos la velocidad y la distancia. La de la órbita circular es la de siempre, E=−GMTm/2r.
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Desarrollo
a) El tránsito de P a A es medio periodo:T=2⋅55759,5=111519s=1,12⋅105s(≈31h)La tercera ley de Kepler, con el semieje mayor en lugar del radio:T2=GMT4π2a3⟹a=(4π2GMTT2)1/3=(4π26,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅(111519)2)1/3a=5,01⋅107mEl impulso en A pasa el satélite a la órbita circular, así que A está a la distancia rcir del centro de la Tierra: ra=8,2⋅104km=8,2⋅107m. El eje mayor es la suma de las distancias al apogeo y al perigeo:2a=ra+rp⟹rp=2a−ra=2⋅5,006⋅107−8,2⋅107=1,81⋅107mb) En el perigeo, con vp=6,0⋅103m/s y rp=1,81⋅107m:Eelip=21mvp2−rpGMTm=21⋅50⋅(6,0⋅103)2−1,81⋅1076,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅50Eelip=9,00⋅108−1,10⋅109=−1,99⋅108JEs negativa, como debe ser en una órbita ligada. Comprobación: en una elipse la energía también vale −GMTm/2a, y con a=5,01⋅107m sale lo mismo, −1,99⋅108J: los datos del enunciado son coherentes. Con el radio terrestre (6371km, que no se da) el perigeo queda a unos 11750km de altura. En la simulación el satélite sale del perigeo con 6,0km/s y dibuja la elipse:
c) En la órbita circular de radio rcir, la gravedad es la fuerza centrípeta (v2=GMT/r) y la energía mecánica queda:Ecir=−2rcirGMTm=−2⋅8,2⋅1076,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅50=−1,21⋅108JEs mayor (menos negativa) que la de la elipse: el impulso en A tiene que aportar al satélite Ecir−Eelip=7,8⋅107J. Por eso se da en el sentido del movimiento: en A el satélite va a 1,33km/s y en la órbita circular necesita 2,20km/s.
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Consejo
En una órbita elíptica, la tercera ley de Kepler se aplica con el semieje mayor, que es la media de las distancias al perigeo y al apogeo. Y la energía mecánica es la de una órbita circular de radio a:E=−GMm/2a. Te sirve para comprobar el apartado b). No redondees el semieje antes de restar: rp=2a−ra es la diferencia de dos números parecidos, y con a=5,01⋅107m ya redondeado saldría 1,82⋅107m.
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