FísicaDifícil2,5 pts

Radiactividad y desintegración

Extremadura · 2026 · Junio

Enunciado

Una muestra radiactiva contiene inicialmente un isótopo inestable

X

cuya actividad inicial es

6{,}0\cdot 10^{12}\ \text{Bq}

. Tras 10 días, la actividad medida es:

7{,}5\cdot 10^{11}\ \text{Bq}

.

a) (0,6 puntos) Determina la constante de desintegración

\lambda

del isótopo, en

(\text{días})^{-1}

.

b) (0,4 puntos) Calcula el periodo de semidesintegración

T_{1/2}

, en días.

c) (0,75 puntos) Determina cuántos núcleos radiactivos había inicialmente en la muestra.

d) (0,75 puntos) Si en cada desintegración se libera una energía de

3{,}0\cdot 10^{-13}\ \text{J}

, ¿cuál es la energía total liberada en los primeros 10 días?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 0{,}208\ \text{días}^{-1}\qquad T_{1/2} = 3{,}33\ \text{días}\;}

\boxed{\;N_0 = 2{,}49\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}\qquad E = 6{,}54\cdot 10^{5}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad es proporcional al número de núcleos,

A = \lambda N

, así que decae con la misma ley exponencial:

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Con las dos actividades se despeja

\lambda

tomando logaritmos, y de ella

T_{1/2} = \ln 2/\lambda

. El número inicial de núcleos es

N_0 = A_0/\lambda

, pero con

\lambda

\text{s}^{-1}

, porque el becquerelio es una desintegración por segundo. La energía liberada es el número de núcleos que se han desintegrado,

N_0 - N

, por la energía de cada desintegración.

Desarrollo

a) Ley de desintegración aplicada a la actividad:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1}{t}\,\ln\frac{A_0}{A} = \frac{1}{10\ \text{días}}\,\ln\frac{6{,}0\cdot 10^{12}}{7{,}5\cdot 10^{11}} = \frac{\ln 8}{10} = 0{,}208\ \text{días}^{-1}

b) Periodo de semidesintegración:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{\ln 2}{0{,}208} = 3{,}33\ \text{días}

Se ve también sin calculadora: la actividad se ha dividido por

8 = 2^3

, así que en 10 días han pasado exactamente tres periodos de semidesintegración,

T_{1/2} = 10/3\ \text{días}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) La actividad es el número de desintegraciones por segundo,

A = \lambda N

. Pasamos

\lambda

\text{s}^{-1}

\lambda = \frac{0{,}208}{86\,400\ \text{s}} = 2{,}41\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{6{,}0\cdot 10^{12}\ \text{s}^{-1}}{2{,}41\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}} = 2{,}49\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}

d) Al cabo de 10 días quedan

N = N_0\,e^{-\lambda t} = N_0/8

núcleos sin desintegrar. Se han desintegrado:

N_0 - N = N_0\left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{7}{8}\cdot 2{,}49\cdot 10^{18} = 2{,}18\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}

Cada desintegración libera

3{,}0\cdot 10^{-13}\ \text{J}

, luego la energía total es

E = (N_0 - N)\cdot 3{,}0\cdot 10^{-13} = 2{,}18\cdot 10^{18}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-13} = 6{,}54\cdot 10^{5}\ \text{J}

No se puede calcular como actividad por tiempo (

6{,}0\cdot 10^{12}\cdot 864\,000\ \text{s}

): la actividad no es constante, sino que cae a la octava parte en esos 10 días.

Consejo

Para $N_0 = A_0/\lambda$ , la constante tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ , porque el becquerelio es desintegraciones por segundo. Si la dejas en días⁻¹, te salen $2{,}9\cdot 10^{13}$ núcleos: 86 400 veces menos.

Cuando el cociente de actividades es una potencia de 2, cuenta los periodos de semidesintegración: es la comprobación más rápida.