Efecto fotoeléctrico y cuantización

a) El trabajo del campo de frenado sobre el electrón más rápido iguala su energía cinética máxima:$$E_{c,\text{máx}} = |e|\,V_f\qquad\text{por ejemplo:}\quad 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}20 = 3{,}2\cdot 10^{-20}\ \text{J}$$b) Ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía de cada fotón, $hf$, se emplea en arrancar el electrón (función trabajo o trabajo de extracción, $W_0$) y el resto queda como energía cinética del electrón:$$h\,f = W_0 + E_{c,\text{máx}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad E_{c,\text{máx}} = h\,f - W_0$$con $h$ la constante de Planck (J·s), $f$ la frecuencia de la radiación (Hz), $W_0 = h f_0$ la función trabajo del metal (J) y $E_{c,\text{máx}}$ la energía cinética máxima de los electrones (J). Dividiendo por $|e|$: $V_f = \dfrac{h}{|e|}\,f - \dfrac{W_0}{|e|}$, que es la recta de la gráfica.

c) Restando la ecuación de Einstein en dos puntos, $W_0$ se cancela. Tomamos el primero y el último:$$h = \frac{E_{c,4} - E_{c,1}}{f_4 - f_1} = \frac{|e|\,(V_{f,4} - V_{f,1})}{f_4 - f_1} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,(1{,}40 - 0{,}20)}{(8{,}00 - 5{,}00)\cdot 10^{14}} = 6{,}4\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$$Los cuatro puntos están exactamente sobre la recta (cada $10^{14}\ \text{Hz}$ el potencial sube 0,40 V), así que cualquier pareja da el mismo valor. Es un 3,5 % menor que el valor teórico, $6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$: un buen resultado experimental.

d) Despejando de la ecuación de Einstein con el primer punto:$$W_0 = h\,f_1 - E_{c,1} = 6{,}4\cdot 10^{-34}\cdot 5{,}00\cdot 10^{14} - 3{,}2\cdot 10^{-20} = 2{,}88\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$En electronvoltios, $W_0 = 2{,}88\cdot 10^{-19}/1{,}6\cdot 10^{-19} = 1{,}80\ \text{eV}$. (Con el valor teórico de $h$ y el mismo punto saldría $W_0 = 3{,}00\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; como los datos no son del todo coherentes con ese $h$, el resultado cambia algo según el punto que se tome.)

e) La frecuencia umbral es la que da a los electrones energía cinética nula:$$f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{2{,}88\cdot 10^{-19}}{6{,}4\cdot 10^{-34}} = 4{,}5\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$$Es el punto donde la recta de la gráfica corta el eje de frecuencias ($V_f = 0$), como se ve en la figura. Con el valor teórico de $h$ (y $W_0 = 3{,}00\cdot 10^{-19}\ \text{J}$) sale prácticamente lo mismo: $f_0 = 4{,}52\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$. Por debajo de esa frecuencia, por intensa que sea la luz, no se arranca ningún electrón.

La simulación trabaja con el valor teórico de $h$: con la función trabajo que sale de él, $W_0 = 3{,}00\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}87\ \text{eV}$, reproduce los potenciales de la tabla con unas centésimas de voltio de diferencia.