Campo y potencial eléctrico

a) Distancias al punto P:$$r_1 = \overline{AP} = 3\ \text{m}\qquad r_2 = \overline{BP} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{m}$$

• $q_1$ es positiva: su campo en P se aleja de A, a lo largo del eje $X$ hacia la derecha.
• $q_2$ es negativa: su campo en P apunta de P hacia B, hacia arriba y a la izquierda.

b) Módulos de los campos en P:$$E_1 = K\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9{,}0\cdot 10^{9}\,\frac{4\cdot 10^{-6}}{3^2} = 4{,}00\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$$$E_2 = K\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9{,}0\cdot 10^{9}\,\frac{3\cdot 10^{-6}}{5^2} = 1{,}08\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$Direcciones: $\vec E_1$ va según $+\vec i$. $\vec E_2$ va de P hacia B, según el vector unitario $\dfrac{(0-3,\ 4-0)}{5} = (-0{,}6;\ 0{,}8)$:$$\vec E_1 = 4{,}00\cdot 10^{3}\ \vec i\ \ \text{N/C}\qquad \vec E_2 = 1{,}08\cdot 10^{3}\,(-0{,}6\,\vec i + 0{,}8\,\vec j) = \left(-648\,\vec i + 864\,\vec j\right)\ \text{N/C}$$Campo total en P:$$\vec E_P = \vec E_1 + \vec E_2 = \left(3352\,\vec i + 864\,\vec j\right)\ \text{N/C}$$Fuerza sobre $q_0 = +2\cdot 10^{-6}\ \text{C}$ (positiva, así que tiene el sentido del campo):$$\vec F = q_0\,\vec E_P = 2\cdot 10^{-6}\left(3352\,\vec i + 864\,\vec j\right) = \left(6{,}70\cdot 10^{-3}\,\vec i + 1{,}73\cdot 10^{-3}\,\vec j\right)\ \text{N}$$Su módulo es $|\vec F| = \sqrt{(6{,}70\cdot 10^{-3})^2 + (1{,}73\cdot 10^{-3})^2} = 6{,}92\cdot 10^{-3}\ \text{N}$, a unos $14{,}5^\circ$ por encima del eje $X$.

c) Potencial en P (con el origen de potenciales en el infinito):$$V_P = K\frac{q_1}{r_1} + K\frac{q_2}{r_2} = 9{,}0\cdot 10^{9}\left(\frac{4\cdot 10^{-6}}{3} + \frac{-3\cdot 10^{-6}}{5}\right) = 1{,}20\cdot 10^{4} - 5{,}40\cdot 10^{3} = 6{,}60\cdot 10^{3}\ \text{V}$$El trabajo del campo al traer $q_0$ desde el infinito es $W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -q_0\,(V_P - V_\infty) = -q_0\,V_P$. La fuerza externa que la trae sin acelerarla hace el trabajo contrario:$$W_{\text{ext}} = q_0\,(V_P - V_\infty) = 2\cdot 10^{-6}\cdot 6{,}60\cdot 10^{3} = 1{,}32\cdot 10^{-2}\ \text{J}$$Es positivo porque $V_P > 0$: el potencial de $q_1$ (positiva y más cercana) pesa más que el de $q_2$, así que la carga de prueba positiva gana energía potencial al llegar a P y ese aumento lo aporta el agente externo. El campo hace $-1{,}32\cdot 10^{-2}\ \text{J}$.