Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Radio de la órbita:$$r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 4{,}00\cdot 10^{5} = 6{,}77\cdot 10^{6}\ \text{m}$$a) Ley de gravitación universal:$$F = \frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 2{,}6\cdot 10^{4}}{(6{,}77\cdot 10^{6})^2} = 2{,}26\cdot 10^{5}\ \text{N}$$Es una fuerza atractiva, dirigida desde la nave hacia el centro de la Tierra. Equivale a un peso con $g = F/m = 8{,}69\ \text{m/s}^2$: a 400 km la gravedad apenas ha bajado un 11 % respecto a la superficie.

b) En la órbita circular $v^2 = G M_T/r$ (se deduce en el apartado c), así que la energía cinética, $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{G M_T m}{2r}$, es la mitad del valor absoluto de la potencial, y la energía mecánica es$$E_{\text{órbita}} = E_c + E_p = \frac{1}{2}\frac{G\,M_T\,m}{r} - \frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2r}$$$$E_{\text{órbita}} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 2{,}6\cdot 10^{4}}{2\cdot 6{,}77\cdot 10^{6}} = -7{,}65\cdot 10^{11}\ \text{J}$$Escapar de la gravedad terrestre significa llegar al infinito (donde $E_p = 0$) con velocidad nula como mínimo, es decir, con energía mecánica $E_{\text{final}} = 0$. La energía mínima que debe aportar el cohete desde la órbita es:$$\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{órbita}} = 0 - \left(-7{,}65\cdot 10^{11}\right) = 7{,}65\cdot 10^{11}\ \text{J}$$Es la energía de escape desde la órbita. (Si se entendiera desde la superficie de la Tierra, en reposo y sin contar su rotación, haría falta $G M_T m/R_T = 1{,}63\cdot 10^{12}\ \text{J}$; pero el enunciado dice «en esas condiciones», con la nave ya en órbita.)

c) En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}$$$$v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}77\cdot 10^{6}}} = 7{,}67\cdot 10^{3}\ \text{m/s} = 7{,}67\ \text{km/s}$$No depende de la masa de la nave. Con esa velocidad, Orión da una vuelta a la Tierra en unos 92 minutos.