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Radiactividad y desintegración

Extremadura · 2026 · Julio

Enunciado

En un servicio de medicina nuclear se administra a un paciente un radiofármaco que contiene un isótopo radiactivo. La gráfica adjunta recoge la evolución del número de núclidos del radiofármaco.

Gráfica titulada «Evolución de núclidos del radiofármaco»: número de núclidos N, en unidades de 10 elevado a 12, frente al tiempo t en días, de 0 a 80. Los puntos, unidos por una curva exponencial decreciente, son N = 10 en t = 0, 5 en t = 10, 2,5 en t = 20, 1,25 en t = 30, unos 0,6 en t = 40, 0,3 en t = 50 y valores casi nulos en 60, 70 y 80 días

a) (0,25 puntos) A partir de la gráfica, indica el número inicial de núclidos del radiofármaco, justificando adecuadamente tu respuesta.

b) (1 punto) A partir de la gráfica, halla el valor de la constante de desintegración radiactiva, justificando adecuadamente tu respuesta.

c) (0,5 puntos) Calcula la actividad inicial del radiofármaco en MBq.

d) (0,75 puntos) Si la actividad mínima detectable por el equipo es de

1\ \text{MBq}

, ¿cuántos días después de la administración dejará de ser detectable el radiofármaco?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;N_0 = 1{,}0\cdot 10^{13}\ \text{núclidos}\qquad T_{1/2} = 10\ \text{días}\qquad \lambda = 8{,}02\cdot 10^{-7}\ \text{s}^{-1} = 0{,}0693\ \text{días}^{-1}\;}

\boxed{\;A_0 = 8{,}02\ \text{MBq}\qquad t = 30{,}0\ \text{días}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El número de núcleos sigue la ley de desintegración

N = N_0\,e^{-\lambda t}

. En la gráfica se lee

N_0

(el valor en

t = 0

) y el periodo de semidesintegración, el tiempo que tarda

N

en reducirse a la mitad; de él sale

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

.

La actividad es

A = \lambda N

: para tenerla en becquerelios hay que poner

\lambda

\text{s}^{-1}

. Por último, la actividad decae con la misma exponencial, y despejando con logaritmos sale el instante en que baja a 1 MBq.

Desarrollo

a) El número inicial de núclidos es el que hay en el instante de la administración,

t = 0

. En la gráfica, el primer punto está en

N = 10

, en unidades de

10^{12}

N_0 = 10\cdot 10^{12} = 1{,}0\cdot 10^{13}\ \text{núclidos}

b) En la gráfica, el número de núclidos se reduce a la mitad cada 10 días:

N(0) = 10\cdot 10^{12}\ \rightarrow\ N(10\ \text{d}) = 5\cdot 10^{12}\ \rightarrow\ N(20\ \text{d}) = 2{,}5\cdot 10^{12}\ \rightarrow\ N(30\ \text{d}) = 1{,}25\cdot 10^{12}

Así que el periodo de semidesintegración es

T_{1/2} = 10

días. De

N(T_{1/2}) = N_0/2 = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}

se obtiene

\lambda T_{1/2} = \ln 2

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{10\ \text{días}} = 6{,}93\cdot 10^{-2}\ \text{días}^{-1}

En unidades del SI, con

10\ \text{días} = 10\cdot 86\,400 = 8{,}64\cdot 10^{5}\ \text{s}

\lambda = \frac{0{,}693}{8{,}64\cdot 10^{5}\ \text{s}} = 8{,}02\cdot 10^{-7}\ \text{s}^{-1}

c) Actividad inicial (en becquerelios, desintegraciones por segundo, con

\lambda

\text{s}^{-1}

A_0 = \lambda\,N_0 = 8{,}02\cdot 10^{-7}\cdot 1{,}0\cdot 10^{13} = 8{,}02\cdot 10^{6}\ \text{Bq} = 8{,}02\ \text{MBq}

d) La actividad es proporcional a

N

, así que decae con la misma ley:

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Deja de detectarse cuando

A = 1\ \text{MBq}

1 = 8{,}02\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln(A_0/A)}{\lambda} = \frac{\ln 8{,}02}{6{,}93\cdot 10^{-2}\ \text{días}^{-1}} = 30{,}0\ \text{días}

Tiene sentido:

8{,}02 \approx 2^3

, así que la actividad tiene que reducirse a la mitad unas tres veces, tres periodos de 10 días. A partir de unos 30 días después de la administración, el radiofármaco deja de ser detectable.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En una gráfica de desintegración, busca el tiempo en que $N$ pasa a la mitad: es el periodo de semidesintegración y de él sale $\lambda$ sin más.

Para la actividad en Bq, $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ . Si la usas en días $^{-1}$ te salen desintegraciones por día, 86 400 veces más.