Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Comparamos con la forma general de la onda estacionaria:$$y(x,t) = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)\qquad\Longrightarrow\qquad 2A = 0{,}04\ \text{m},\quad k = 5\pi\ \text{rad/m},\quad \omega = 40\pi\ \text{rad/s}$$Es la suma de $y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t)$ e $y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t)$, ondas viajeras en sentidos opuestos, con:$$A = \frac{0{,}04}{2} = 0{,}02\ \text{m}$$$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}4\ \text{m}\qquad\qquad f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{40\pi}{2\pi} = 20\ \text{Hz}$$$$v = \lambda\,f = 0{,}4\cdot 20 = 8\ \text{m/s}\qquad\left(\text{o bien } v = \frac{\omega}{k} = \frac{40\pi}{5\pi} = 8\ \text{m/s}\right)$$b) Los nodos son los puntos que no vibran nunca, donde $\text{sen}(5\pi x) = 0$:$$5\pi x = n\pi\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{n}{5} = 0,\ 0{,}2,\ 0{,}4,\ \dots\ \text{m}$$Dos nodos consecutivos están separados media longitud de onda:$$\Delta x = \frac{\lambda}{2} = \frac{0{,}4}{2} = 0{,}2\ \text{m}$$c) El punto $x = 0{,}25\ \text{m}$ oscila con un MAS de amplitud:$$A(0{,}25) = \left|0{,}04\,\text{sen}(5\pi\cdot 0{,}25)\right| = 0{,}04\left|\text{sen}\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)\right| = 0{,}04\cdot\frac{\sqrt 2}{2} = 2{,}83\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$Su velocidad de vibración es la derivada respecto al tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}04\cdot 40\pi\,\text{sen}(5\pi x)\,\text{sen}(40\pi t)\ \ \text{m/s}$$y su valor máximo, cuando $|\text{sen}(40\pi t)| = 1$:$$v_{\text{máx}} = \omega\,A(0{,}25) = 40\pi\cdot 2{,}83\cdot 10^{-2} = 3{,}55\ \text{m/s}$$El punto no es un nodo ni un vientre (los vientres están en $x = 0{,}1$, $0{,}3\ \text{m}$…, a mitad de camino entre nodos): vibra con una amplitud intermedia.