FísicaMedio2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2026 · Julio

Enunciado

En tu instituto vais a presentar a un concurso un «laboratorio de microgravedad casero». La idea es usar masas relativamente grandes colocadas sobre una mesa para crear una zona donde la intensidad del campo gravitatorio resultante sea prácticamente nula, y estudiar cómo se mueve una pequeña esfera de prueba.

En el prototipo se usan dos esferas metálicas, A y B, colocadas sobre una mesa horizontal, separadas una cierta distancia. Tomamos como eje X la recta que une A y B, con origen en A y sentido hacia B. Una pequeña esfera de prueba puede deslizarse sin rozamiento sobre una guía recta que pasa por A y B.

a) (0,6 puntos) Dibuja un esquema en el que representes los campos gravitatorios de ambas esferas en 3 puntos diferentes (M, N y P) del eje X, tales que: M se encuentra a la izquierda de ambas esferas, N se sitúa a la derecha de ambas esferas y P está entre las esferas A y B.

b) (1 punto) ¿En cuál de los puntos anteriores podría ser nulo el campo gravitatorio? Encuentra exactamente su posición respecto de la esfera A.

c) (0,9 puntos) La esfera de prueba se desplaza lentamente y sin rozamiento desde el punto medio entre A y B hasta el punto donde el campo gravitatorio resultante es nulo. Calcula el trabajo realizado por las fuerzas gravitatorias durante el desplazamiento descrito e interpreta el signo obtenido.

Datos: Masa de la esfera A:

M_A = 15\ \text{kg}

; Masa de la esfera B:

M_B = 10\ \text{kg}

; Distancia entre A y B:

d = 1\ \text{m}

; Masa de la esfera de prueba:

m = 0{,}2\ \text{kg}

; Constante de gravitación universal:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}

(unidades del Sistema Internacional).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Campo nulo solo entre A y B (zona de P):}\quad x = 3 - \sqrt 6 = 0{,}551\ \text{m de A}\;}

\boxed{\;W_{\text{grav}} = -6{,}74\cdot 10^{-12}\ \text{J}\ \ (\text{lo realiza una fuerza externa; } E_p \text{ aumenta})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo gravitatorio de cada esfera apunta siempre hacia ella y su módulo es

g = GM/r^2

. Con eso se dibujan los dos vectores en M, N y P y se ve dónde tienen sentidos opuestos: solo entre las esferas pueden anularse.

En b) igualamos los módulos de los dos campos en un punto

x

entre A y B. En c) el campo gravitatorio es conservativo, así que su trabajo es menos la variación de energía potencial de la esfera de prueba, que es la suma de las energías potenciales debidas a A y a B.

Desarrollo

a) Cada esfera crea en un punto un campo dirigido hacia ella misma, tanto más intenso cuanto más cerca está el punto:

En M (a la izquierda de las dos), $\vec g_A$ y $\vec g_B$ apuntan los dos hacia la derecha, hacia $+X$ . $\vec g_A$ es mayor: A es más masiva y está más cerca.
En N (a la derecha de las dos), los dos apuntan hacia la izquierda, hacia $-X$ . Cerca de B domina $\vec g_B$ .
En P (entre A y B), $\vec g_A$ apunta hacia la izquierda (hacia A) y $\vec g_B$ hacia la derecha (hacia B): tienen sentidos opuestos.

Esquema sobre el eje X: la esfera A, de 15 kg, en el origen, y la esfera B, de 10 kg, en x = 1 m. En el punto M, a la izquierda de A, los campos de A (largo) y de B (corto) apuntan los dos hacia la derecha. En el punto P, entre A y B, el campo de A apunta hacia la izquierda y el de B hacia la derecha. En el punto N, a la derecha de B, los dos apuntan hacia la izquierda, el de B más largo

b) En M y en N los dos campos tienen el mismo sentido y se suman: el campo total nunca es nulo. Solo puede anularse en una zona como la de P, entre las esferas, donde los campos se oponen. Ahí será nulo cuando sus módulos sean iguales. Con

x

la distancia a A (y

1 - x

la distancia a B, en metros):

\frac{G\,M_A}{x^2} = \frac{G\,M_B}{(1-x)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1-x}{x} = \sqrt{\frac{M_B}{M_A}} = \sqrt{\frac{10}{15}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

Tomamos la raíz positiva porque

x

1-x

son distancias. Despejando:

x = \frac{1}{1 + \sqrt{2/3}} = \frac{\sqrt 3}{\sqrt 3 + \sqrt 2} = 3 - \sqrt 6\ \text{m} = 0{,}551\ \text{m}

El punto de campo nulo está a

0{,}551\ \text{m}

de A, es decir, a

0{,}449\ \text{m}

de B: más cerca de la esfera menos masiva, como cabía esperar.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) La energía potencial de la esfera de prueba en un punto

x

del segmento AB es la suma de las debidas a cada esfera:

E_p(x) = -G\,m\left(\frac{M_A}{x} + \frac{M_B}{1-x}\right)

En el punto medio,

x_1 = 0{,}5\ \text{m}

\frac{M_A}{x_1} + \frac{M_B}{1-x_1} = \frac{15}{0{,}5} + \frac{10}{0{,}5} = 50\ \text{kg/m}

En el punto de campo nulo,

x_2 = 3 - \sqrt 6\ \text{m}

(racionalizando,

\frac{15}{3-\sqrt 6} = 15 + 5\sqrt 6

\frac{10}{\sqrt 6 - 2} = 10 + 5\sqrt 6

\frac{M_A}{x_2} + \frac{M_B}{1-x_2} = 25 + 10\sqrt 6 = 49{,}49\ \text{kg/m}

El trabajo de las fuerzas gravitatorias es menos la variación de energía potencial:

W = -\left[E_p(x_2) - E_p(x_1)\right] = -G\,m\,(50 - 49{,}49) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}2\cdot 0{,}505

W = -6{,}74\cdot 10^{-12}\ \text{J}

Interpretación del signo. El trabajo es negativo: la esfera va del punto medio hacia B, pero en el punto medio domina la atracción de A (más masiva), que tira hacia la izquierda. Durante todo el recorrido la fuerza gravitatoria resultante apunta hacia A, en contra del desplazamiento, y solo se anula al llegar. Por eso el desplazamiento no es espontáneo: hay que empujar la esfera con una fuerza externa, que realiza un trabajo de

+6{,}74\cdot 10^{-12}\ \text{J}

, y la energía potencial de la esfera aumenta en esa cantidad.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de igualar módulos, dibuja las flechas: el campo solo se anula donde los dos apuntan en sentidos opuestos. Con dos masas, siempre entre ellas y más cerca de la pequeña.

En c) no intentes usar $W = F\cdot d$ : la fuerza cambia a lo largo del camino. Con la energía potencial basta restar dos números; cuida que $W = -\Delta E_p$ y no $+\Delta E_p$ .