Campo y potencial gravitatorio

a) Cerca de la superficie, la energía potencial es $mg_0h$. Conservación de la energía mecánica entre el suelo y el punto más alto (donde $v = 0$):$$\frac12\,m\,v_0^2 = m\,g_0\,h\quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{2\,g_0\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}80\cdot 4} = 8{,}85\ \text{m/s}$$b) Velocidad de escape desde la superficie de un cuerpo esférico de masa $M$ y radio $R$ (energía mecánica nula al llegar al infinito):$$\frac12\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$Con la densidad $\rho_a$ del asteroide, $M = \rho_a\,\tfrac43\pi R^3$:$$v_e = \sqrt{\frac{8\pi\,G\,\rho_a}{3}}\;R$$Para la Tierra, $g_0 = \dfrac{G\,M_T}{R_T^2} = \tfrac43\pi\,G\,\rho_T\,R_T$, es decir, $\tfrac43\pi\,G\,\rho_T = \dfrac{g_0}{R_T}$. Como $\rho_a = \rho_T/2$:$$\frac{8\pi\,G\,\rho_a}{3} = 2\cdot\frac{4\pi\,G}{3}\cdot\frac{\rho_T}{2} = \frac{4\pi\,G\,\rho_T}{3} = \frac{g_0}{R_T}\quad\Longrightarrow\quad v_e = R\,\sqrt{\frac{g_0}{R_T}}$$El objeto escapa si $v_0 \geq v_e$. El radio máximo es el que hace $v_e = v_0$:$$R_{\text{máx}}\sqrt{\frac{g_0}{R_T}} = \sqrt{2\,g_0\,h}\quad\Longrightarrow\quad R_{\text{máx}} = \sqrt{2\,h\,R_T} = \sqrt{2\cdot 4\cdot 6{,}38\cdot 10^{6}} = 7{,}14\cdot 10^{3}\ \text{m}$$Diámetro máximo:$$D_{\text{máx}} = 2\,R_{\text{máx}} = 1{,}43\cdot 10^{4}\ \text{m} = 14{,}3\ \text{km}$$(Con $G$ y $M_T$ de la tabla, la densidad de la Tierra es $\rho_T = 5{,}50\cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3$ y se obtiene el mismo resultado.) En un asteroide de diámetro mayor, la velocidad de escape supera los $8{,}85\ \text{m/s}$ y el objeto acabaría volviendo.