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Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2026 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) La fuerza de atracción entre dos cuerpos, supuestos puntuales, tiene un valor de

6\ \text{nN}

cuando se encuentran separados

10\ \text{cm}

. ¿Cuál será su valor cuando la distancia entre ambos se triplique? ¿Cuál es el valor de sus masas si la de uno de ellos es el doble que la del otro?

b) (1 punto) Se dispara verticalmente un proyectil desde la superficie de la Tierra con una velocidad cuyo módulo es la mitad de la velocidad de escape. Despreciando el rozamiento con la atmósfera, calcule la máxima altura sobre la superficie que alcanzará el proyectil.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

R_T = 6{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}

;

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F' = 6{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{N}\qquad m_1 = 0{,}671\ \text{kg}\qquad m_2 = 1{,}34\ \text{kg}\;}

\boxed{\;h = \frac{R_T}{3} = 2{,}13\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son dos ejercicios independientes de 1 punto (en el cuadernillo, el 2 y el 3 de esta opción).

a) La fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: si la distancia se triplica, la fuerza se divide entre 9. Las masas salen de la ley de Newton con

m_2 = 2m_1

.

b) Sin rozamiento se conserva la energía mecánica. Se escribe la velocidad de lanzamiento a partir de

v_e = \sqrt{2GM_T/R_T}

y se iguala la energía en la superficie con la del punto más alto, donde la velocidad es cero. No vale

h = v^2/2g

: el proyectil sube tanto que

g

cambia mucho.

Desarrollo

a) Ley de gravitación universal:

F = \frac{G\,m_1 m_2}{d^2}

Si la distancia pasa a ser

3d

F' = \frac{G\,m_1 m_2}{(3d)^2} = \frac{F}{9} = \frac{6\cdot 10^{-9}}{9} = 6{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{N} = 0{,}667\ \text{nN}

Para las masas, con

m_2 = 2m_1

F = 6\cdot 10^{-9}\ \text{N}

d = 0{,}10\ \text{m}

F = \frac{G\,m_1\cdot 2m_1}{d^2} = \frac{2G\,m_1^2}{d^2}\quad\Longrightarrow\quad m_1 = \sqrt{\frac{F\,d^2}{2G}} = \sqrt{\frac{6\cdot 10^{-9}\cdot 0{,}10^2}{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}}} = 0{,}671\ \text{kg}

m_2 = 2m_1 = 1{,}34\ \text{kg}

b) Velocidad de escape desde la superficie y velocidad de lanzamiento:

v_e = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}\qquad v_0 = \frac{v_e}{2}\quad\Longrightarrow\quad v_0^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{GM_T}{2R_T}

Conservación de la energía mecánica entre la superficie y el punto más alto, a distancia

r

del centro de la Tierra, donde

v = 0

\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{GM_T m}{R_T} = -\frac{GM_T m}{r}

Sustituimos

v_0^2

y dividimos entre

GM_Tm

\frac{1}{4R_T} - \frac{1}{R_T} = -\frac{1}{r}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r} = \frac{3}{4R_T}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{4}{3}R_T

La altura sobre la superficie:

h = r - R_T = \frac{R_T}{3} = \frac{6{,}38\cdot 10^{6}}{3} = 2{,}13\cdot 10^{6}\ \text{m}

El resultado no depende de la masa del proyectil. Como referencia,

v_e = 1{,}12\cdot 10^{4}\ \text{m/s}

v_0 = 5{,}59\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

Consejo

En b), no uses $mgh$ ni $h = v_0^2/2g$ : solo valen cerca de la superficie, y aquí el proyectil sube un tercio del radio terrestre. Con ellas saldría $h = R_T/4$ , un $25\ \%$ menos de lo que de verdad sube, porque $g$ disminuye al alejarse.

Escríbelo todo con $GM_T/R_T$ y la masa del proyectil se va sola.