Campo y potencial gravitatorio

a1) i) Con el origen de potencial en el infinito, el potencial de una masa puntual es$$V = -\frac{G\,m}{r}$$Así que$$V_1 = -\frac{G\,m}{r_1}, \qquad V_2 = -\frac{G\,4m}{r_2}$$Imponiendo $V_2 = 2V_1$:$$-\frac{4\,G m}{r_2} = 2\left(-\frac{G m}{r_1}\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{r_2} = \frac{2}{r_1} \quad\Longrightarrow\quad r_2 = 2\,r_1$$ii) Como $r_2 = 2r_1$, la masa $m_2 = 4m$ está el doble de lejos de P que $m_1$: la más alejada es $m_2$. Tiene sentido: con cuatro veces más masa, para crear "solo" el doble de potencial (en valor absoluto) tiene que estar más lejos.

a2) i) Falsa. Por el teorema de la energía mecánica,$$W_{\text{no cons}} = \Delta E_m$$Si el trabajo de las fuerzas no conservativas es negativo (el rozamiento, por ejemplo), la energía mecánica disminuye; pero si es positivo, aumenta. Es lo que ocurre cuando un motor sube un ascensor a velocidad constante o cuando empujamos un carrito: la fuerza aplicada, no conservativa, aporta energía mecánica al sistema. Así que la energía mecánica sí puede aumentar.

ii) Falsa. Por el teorema de las fuerzas vivas, la variación de la energía cinética es el trabajo de todas las fuerzas:$$W_{\text{total}} = \Delta E_c$$La presencia de fuerzas no conservativas no obliga a que ese trabajo sea nulo. Un bloque que se frena por rozamiento sobre una mesa horizontal pierde energía cinética; un coche que acelera la gana gracias a una fuerza no conservativa. La energía cinética solo permanece constante en casos particulares (trabajo total nulo, como al subir algo a velocidad constante), no "siempre".

b1) i) La distancia de cada masa a $C(3,0)$ es la misma:$$r = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} = 3{,}61\ \text{m}$$y el módulo del campo de cada una en C también:$$g_1 = g_2 = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{13} = 1{,}54\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada campo apunta hacia la masa que lo crea. El vector unitario de C hacia A es $(-3,2)/\sqrt{13}$ y de C hacia B, $(-3,-2)/\sqrt{13}$:$$\vec g_1 = 1{,}54\cdot 10^{-11}\,\frac{-3\,\vec i + 2\,\vec j}{\sqrt{13}}, \qquad \vec g_2 = 1{,}54\cdot 10^{-11}\,\frac{-3\,\vec i - 2\,\vec j}{\sqrt{13}}$$Al sumar, las componentes en $\vec j$ se cancelan (simetría) y las componentes en $\vec i$ se suman:$$\vec g = 2\cdot 1{,}54\cdot 10^{-11}\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\vec i = -2{,}56\cdot 10^{-11}\,\vec i\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Esquema: las dos masas sobre el eje $Y$, en $(0,2)$ y $(0,-2)$, y el punto C en el eje $X$. Desde C salen $\vec g_1$ apuntando hacia A (hacia arriba a la izquierda) y $\vec g_2$ apuntando hacia B (hacia abajo a la izquierda), de igual longitud; su suma $\vec g$ es un vector horizontal hacia la izquierda, hacia el punto medio de las dos masas.

ii) El trabajo del campo es menos la variación de energía potencial. Con $E_p(\infty) = 0$:$$W_{C\to\infty} = -\left[E_p(\infty) - E_p(C)\right] = E_p(C)$$$$E_p(C) = -\frac{G\,m_1\,m'}{r} - \frac{G\,m_2\,m'}{r} = -\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot 1{,}5}{\sqrt{13}}$$$$W_{C\to\infty} = -1{,}66\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$El trabajo es negativo: el campo atrae la masa hacia las otras dos y se opone a que se aleje. Habría que aportar desde fuera (como mínimo) $1{,}66\cdot 10^{-10}\,\text{J}$ para llevarla al infinito.

b2) i) Fuerzas sobre el sistema niña-trineo ($m = 75\,\text{kg}$, $P = mg = 735\,\text{N}$):

• En la colina: el peso $\vec P$, vertical hacia abajo (descompuesto en $P\,\text{sen}\,37^\circ = 442\,\text{N}$ a lo largo de la pendiente, hacia abajo, y $P\cos 37^\circ = 587\,\text{N}$ perpendicular a ella); la normal $\vec N$, perpendicular a la pendiente y hacia fuera, que equilibra la componente perpendicular del peso, $N = mg\cos 37^\circ = 587\,\text{N}$; y el rozamiento $\vec F_r$, paralelo a la pendiente y hacia arriba (opuesto al movimiento), $F_r = \mu N = 58{,}7\,\text{N}$.
• En el llano: el peso vertical hacia abajo, la normal vertical hacia arriba con $N = mg = 735\,\text{N}$ y el rozamiento horizontal, opuesto a la velocidad, $F_r = \mu m g = 73{,}5\,\text{N}$.

ii) Longitud de la pendiente:$$L = \frac{h}{\text{sen}\,37^\circ} = \frac{25}{0{,}602} = 41{,}5\ \text{m}$$Trabajo del rozamiento en la colina:$$W_{r,1} = -\mu\,m g\cos 37^\circ\cdot L = -0{,}1\cdot 75\cdot 9{,}8\cdot 0{,}799\cdot 41{,}5 = -2{,}44\cdot 10^{3}\ \text{J}$$Balance de energía entre lo alto (reposo, altura $h$) y el pie de la colina (altura 0):$$m g h + W_{r,1} = \tfrac{1}{2}\,m v^2$$$$75\cdot 9{,}8\cdot 25 - 2{,}44\cdot 10^{3} = 18\,375 - 2\,438 = 15\,937\ \text{J} = \tfrac{1}{2}\cdot 75\,v^2$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 15\,937}{75}} = 20{,}6\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$En el tramo horizontal la energía potencial no cambia y el rozamiento disipa toda la cinética:$$\tfrac{1}{2}\,m v^2 = \mu\,m g\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{v^2}{2\mu g} = \frac{20{,}6^2}{2\cdot 0{,}1\cdot 9{,}8} = 217\ \text{m}$$Con un coeficiente de rozamiento tan pequeño ($0{,}1$, nieve) la distancia de frenado es larga, coherente con la experiencia.