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Radiactividad y desintegración

Castilla y León · 2026 · Julio

Enunciado

En un hospital se está probando un nuevo radiofármaco para realizar tratamientos terapéuticos. En el laboratorio de Medicina Nuclear se prepara una muestra de

20\ \text{g}

de este material radiactivo y se comprueba que al cabo de

10

horas la actividad de la muestra ha disminuido un

10\ \%

respecto al valor inicial. Calcule:

a) El periodo de semidesintegración de la sustancia radiactiva. (1 punto)

b) La masa de la sustancia radiactiva que se ha desintegrado al cabo de dos días. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;T_{1/2} = 65{,}8\ \text{h} = 2{,}37\cdot 10^{5}\ \text{s}\;}

\boxed{\;m_{\text{desintegrada}} = 7{,}94\ \text{g}\ \ (\text{quedan } 12{,}1\ \text{g})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad es proporcional al número de núcleos,

A = \lambda N

, así que decae con la misma ley exponencial:

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Que haya disminuido un 10 % significa que queda el 90 %: de ahí se despeja

\lambda

y, con

T_{1/2} = \ln 2/\lambda

, el periodo. La masa sin desintegrar sigue la misma ley,

m = m_0\,e^{-\lambda t}

; lo desintegrado es la diferencia con la inicial.

Desarrollo

a) Si la actividad ha disminuido un 10 %, al cabo de

t = 10\ \text{h}

queda el 90 % de la inicial:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad 0{,}90 = e^{-\lambda\cdot 10\ \text{h}}

Tomando logaritmos neperianos:

\lambda = -\frac{\ln 0{,}90}{10\ \text{h}} = 1{,}05\cdot 10^{-2}\ \text{h}^{-1} = 2{,}93\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

Periodo de semidesintegración:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{1{,}0536\cdot 10^{-2}\ \text{h}^{-1}} = 65{,}8\ \text{h} = 2{,}37\cdot 10^{5}\ \text{s}

Unos 2,7 días. Es coherente: en 10 h (bastante menos de un periodo) la actividad ha bajado mucho menos de la mitad.

b) Dos días son

t = 48\ \text{h}

. La masa que queda sin desintegrar es proporcional al número de núcleos que quedan:

m = m_0\,e^{-\lambda t} = 20\cdot e^{-1{,}0536\cdot 10^{-2}\cdot 48} = 20\cdot 0{,}603 = 12{,}1\ \text{g}

(Lo mismo sale con

m = m_0\cdot 0{,}90^{\,t/10\ \text{h}} = 20\cdot 0{,}90^{4{,}8}

.) La masa desintegrada es la diferencia:

m_{\text{desint}} = m_0 - m = 20 - 12{,}06 = 7{,}94\ \text{g}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Ha disminuido un 10 %» significa que queda el 90 %: pon $0{,}90$ en la ley, no $0{,}10$ . Es el error más frecuente en este tipo de enunciados.

Te preguntan lo desintegrado, no lo que queda: resta al final. Y trabaja con $\lambda$ en horas si el tiempo viene en horas: así evitas conversiones.