Campo y potencial eléctrico

Llamamos $q_1 = -2\cdot 10^{-6}\ \text{C}$ en $P_1(-2, 0)$ y $q_2 = +2\cdot 10^{-6}\ \text{C}$ en $P_2(2, 0)$.

a) Campo de $q_2$. Está justo debajo de A, a $r_2 = 3\ \text{m}$. Al ser positiva, su campo se aleja de ella: hacia $+\vec j$.$$E_2 = \frac{K_0\,|q_2|}{r_2^2} = \frac{9{,}00\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{3^2} = 2000\ \text{N/C}\qquad \vec E_2 = 2000\,\vec j\ \text{N/C}$$Campo de $q_1$. La distancia de $P_1$ a A es$$r_1 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{m}$$Al ser negativa, su campo apunta hacia ella, es decir, de A hacia $P_1$, en la dirección del unitario $\vec u = \frac{(-4, -3)}{5} = (-0{,}8;\ -0{,}6)$:$$E_1 = \frac{K_0\,|q_1|}{r_1^2} = \frac{9{,}00\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-6}}{5^2} = 720\ \text{N/C}\qquad \vec E_1 = 720\,(-0{,}8\,\vec i - 0{,}6\,\vec j) = (-576\,\vec i - 432\,\vec j)\ \text{N/C}$$Campo total (principio de superposición):$$\vec E_A = \vec E_1 + \vec E_2 = (-576\,\vec i + 1568\,\vec j)\ \text{N/C}\qquad |\vec E_A| = \sqrt{576^2 + 1568^2} = 1{,}67\cdot 10^{3}\ \text{N/C}$$Representación: en A se dibujan $\vec E_2$, vertical hacia arriba y la más larga; $\vec E_1$, más corta, dirigida hacia la carga negativa (hacia abajo y a la izquierda, a lo largo de la recta que une A con $(-2, 0)$); y $\vec E_A$, la diagonal del paralelogramo que forman, que apunta hacia arriba y algo a la izquierda (unos $110^\circ$ con el eje X).

b) Potencial en el origen (las dos cargas están a 2 m y son opuestas):$$V_O = K_0\left(\frac{q_1}{2} + \frac{q_2}{2}\right) = 9{,}00\cdot 10^{9}\left(\frac{-2\cdot 10^{-6}}{2} + \frac{2\cdot 10^{-6}}{2}\right) = 0\ \text{V}$$Potencial en A:$$V_A = K_0\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9{,}00\cdot 10^{9}\left(\frac{-2\cdot 10^{-6}}{5} + \frac{2\cdot 10^{-6}}{3}\right) = 2400\ \text{V}$$Trabajo necesario (el que hace una fuerza externa para llevar $q' = -3\cdot 10^{-6}\ \text{C}$ de O a A sin variar su energía cinética):$$W_{\text{ext}} = q'\,(V_A - V_O) = -3\cdot 10^{-6}\cdot(2400 - 0) = -7{,}20\cdot 10^{-3}\ \text{J}$$Interpretación: el trabajo externo es negativo, así que el trabajo del campo es positivo, $W_{\text{campo}} = -W_{\text{ext}} = +7{,}20\cdot 10^{-3}\ \text{J}$. Una carga negativa tiende a ir hacia potenciales mayores: el traslado de O a A es espontáneo, lo realiza el propio campo, y la energía potencial de la carga disminuye en $7{,}20\cdot 10^{-3}\ \text{J}$. La fuerza externa solo tiene que frenar la carga para que no gane energía cinética.