FísicaMedio2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla y León · 2026 · Julio
Enunciado
Un satélite de 900 kg900\ \text{kg} se coloca inicialmente en una órbita LEO (acrónimo en inglés que significa «órbita terrestre baja») a una altura de 1200 km1200\ \text{km} sobre la superficie terrestre.

a) Calcule su aceleración y energía mecánica en la órbita, así como el número de vueltas que realiza en un día. (1,2 puntos)

Posteriormente, una empresa de streaming y videojuegos online quiere utilizarlo como satélite de telecomunicaciones para dar cobertura estable y continua a alguna región remota y mejorar así la conexión en eventos en directo, para lo cual se necesita que describa una órbita geoestacionaria.

b) Determine la energía que habría que suministrar al satélite para que efectúe dicho cambio de órbita. (0,8 puntos)

Datos (de la tabla de constantes del examen): G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; RT=6,38⋅106 mR_T = 6{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}.
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Resultado
  a=6,94 m/s2E1=−2,37⋅1010 J13,2 vueltas al dıˊa  \boxed{\;a = 6{,}94\ \text{m/s}^2\qquad E_1 = -2{,}37\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad 13{,}2\ \text{vueltas al día}\;}  ΔE=1,94⋅1010 J  \boxed{\;\Delta E = 1{,}94\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}
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Estrategia

En una órbita circular, la aceleración del satélite es la centrípeta y coincide con la gravedad a esa distancia, a=GMT/r2a = GM_T/r^2. La energía mecánica de un satélite en órbita circular es E=−GMTm/(2r)E = -GM_Tm/(2r), y el periodo sale de la tercera ley de Kepler (igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta).

Para b), la órbita geoestacionaria tiene un periodo de un día: con él se obtiene su radio, y la energía que hay que aportar es la diferencia entre las energías mecánicas de las dos órbitas.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita LEO:r1=RT+h=6,38⋅106+1,20⋅106=7,58⋅106 mr_1 = R_T + h = 6{,}38\cdot 10^{6} + 1{,}20\cdot 10^{6} = 7{,}58\cdot 10^{6}\ \text{m}La única fuerza es la gravitatoria, así que la aceleración (centrípeta) es la intensidad del campo a esa distancia:a=G MTr12=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024(7,58⋅106)2=6,94 m/s2a = \frac{G\,M_T}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{\left(7{,}58\cdot 10^{6}\right)^2} = 6{,}94\ \text{m/s}^2Dirigida hacia el centro de la Tierra.

Energía mecánica en órbita circular (cinética GMTm/2rGM_Tm/2r más potencial −GMTm/r-GM_Tm/r):E1=−G MT m2 r1=−6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅9002⋅7,58⋅106=−2,37⋅1010 JE_1 = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r_1} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 900}{2\cdot 7{,}58\cdot 10^{6}} = -2{,}37\cdot 10^{10}\ \text{J}Periodo, igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta con v=2πr1/Tv = 2\pi r_1/T (tercera ley de Kepler):G MT mr12=m 4π2T2 r1⟹T1=2πr13G MT=2π(7,58⋅106)36,67⋅10−11⋅5,98⋅1024=6,57⋅103 s\frac{G\,M_T\,m}{r_1^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r_1\quad\Longrightarrow\quad T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{r_1^3}{G\,M_T}} = 2\pi\sqrt{\frac{\left(7{,}58\cdot 10^{6}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}} = 6{,}57\cdot 10^{3}\ \text{s}Es decir, 1,82 h1{,}82\ \text{h}. Vueltas en un día (86 400 s86\,400\ \text{s}):N=86 4006,566⋅103=13,2 vueltasN = \frac{86\,400}{6{,}566\cdot 10^{3}} = 13{,}2\ \text{vueltas}
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Un satélite geoestacionario gira con el mismo periodo que la Tierra, T2=24 h=86 400 sT_2 = 24\ \text{h} = 86\,400\ \text{s}. De la tercera ley de Kepler:r2=G MT T224π23=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅86 40024π23=4,23⋅107 mr_2 = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T_2^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}23\cdot 10^{7}\ \text{m}(unos 35 900 km35\,900\ \text{km} de altura). Su energía mecánica:E2=−G MT m2 r2=−6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅9002⋅4,225⋅107=−4,25⋅109 JE_2 = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r_2} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 900}{2\cdot 4{,}225\cdot 10^{7}} = -4{,}25\cdot 10^{9}\ \text{J}La energía que hay que suministrar es el aumento de energía mecánica:ΔE=E2−E1=G MT m2(1r1−1r2)=−4,25⋅109−(−2,37⋅1010)=1,94⋅1010 J\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{G\,M_T\,m}{2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = -4{,}25\cdot 10^{9} - \left(-2{,}37\cdot 10^{10}\right) = 1{,}94\cdot 10^{10}\ \text{J}Es positiva: la órbita alta está menos ligada (energía menos negativa), así que hay que aportar energía. En la órbita alta el satélite va más despacio (menos energía cinética), pero gana mucha más energía potencial.
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Consejo

La aceleración de un satélite en órbita no es 9,80 m/s29{,}80\ \text{m/s}^2: es GMT/r2GM_T/r^2 con la distancia al centro de la Tierra, no la altura. Suma siempre el radio terrestre.

Para cambiar de órbita, resta energías mecánicas (−GMm/2r-GMm/2r), no solo potenciales: la cinética también cambia, y olvidarla duplica el resultado.
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