FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

El 1 de abril de 2026 se lanzó la misión Artemis II, que transportaba a la nave Orion con cuatro astronautas para la exploración de la cara oculta de la Luna. Uno de los aspectos clave para garantizar la seguridad de la tripulación es la reentrada en la atmósfera terrestre y el aterrizaje sobre la superficie de la Tierra. Para estudiar de forma simplificada estos aspectos, supondremos que, antes de iniciar la reentrada a la atmósfera, Orion (masa

m = 26{,}3\cdot 10^{3}\,\text{kg}

) describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de

h = 100\,\text{km}

sobre su superficie.

A1) (1 punto) Calcule la velocidad orbital de la nave y compárela con la velocidad de escape de la Tierra.

A2) (1 punto) Antes de la reentrada, el módulo de servicio se separa y solo desciende a la Tierra la cápsula Orion, de masa

m_0 = 9{,}3\cdot 10^{3}\,\text{kg}

. Calcule la energía mecánica total de la cápsula en dicha órbita y obtenga la energía que tendría en reposo sobre la superficie terrestre. Determine la energía que debe disipar (principalmente en forma de calor) para realizar un aterrizaje seguro y suave.

Datos:

R_T = 6{,}37\cdot 10^{3}\,\text{km}

;

M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}

;

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;v_0 = 7{,}85\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad v_e = 1{,}12\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\approx 1{,}43\,v_0\;}

\boxed{\;E_O = -2{,}86\cdot 10^{11}\ \text{J}\qquad E_R = -5{,}81\cdot 10^{11}\ \text{J}\qquad \Delta E = 2{,}95\cdot 10^{11}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En una órbita circular, la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta: de ahí sale la velocidad orbital, que no depende de la masa de la nave (por eso los

26{,}3\cdot 10^3\,\text{kg}

no hacen falta). La velocidad de escape desde la superficie se obtiene exigiendo que la energía mecánica total sea cero: es la justa para llegar al infinito.

En A2) se comparan dos estados de la cápsula: en órbita tiene energía potencial (negativa) y cinética; en reposo en el suelo, solo potencial (más negativa todavía, porque está más cerca del centro de la Tierra). La diferencia es la energía que la atmósfera y los paracaídas tienen que quitarle, casi toda en forma de calor.

Desarrollo

A1) Radio de la órbita, desde el centro de la Tierra:

r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}00\cdot 10^{5} = 6{,}47\cdot 10^{6}\ \text{m}

Igualando la fuerza gravitatoria con la centrípeta:

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v_0^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}47\cdot 10^{6}}} = 7{,}85\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

La velocidad de escape desde la superficie es la que deja la energía mecánica total en cero:

\frac12 m v_e^2 - \frac{G M_T m}{R_T} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T}} = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}98\cdot 10^{14}}{6{,}37\cdot 10^{6}}} = 1{,}12\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Comparando:

\frac{v_e}{v_0} = \frac{1{,}12\cdot 10^{4}}{7{,}85\cdot 10^{3}} = 1{,}43

La velocidad de escape es algo más de 1,4 veces la orbital. (Si se compara con la velocidad de escape desde la órbita,

\sqrt{2}\,v_0 = 1{,}11\cdot 10^{4}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

, el cociente es exactamente

\sqrt2 \approx 1{,}41

; los criterios de corrección dan por buenas las dos lecturas.)

A2) Energía mecánica de la cápsula en la órbita (

m_0 = 9{,}3\cdot 10^{3}\,\text{kg}

E_p = -\frac{G M_T m_0}{r} = -\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 9{,}3\cdot 10^{3}}{6{,}47\cdot 10^{6}} = -5{,}72\cdot 10^{11}\ \text{J}

E_c = \frac12 m_0 v_0^2 = \frac12\cdot 9{,}3\cdot 10^{3}\cdot (7{,}85\cdot 10^{3})^2 = 2{,}86\cdot 10^{11}\ \text{J}

E_O = E_p + E_c = -2{,}86\cdot 10^{11}\ \text{J}

(Es justo la mitad de la potencial, como en cualquier órbita circular:

E = -\dfrac{G M m}{2r}

.)

En reposo sobre la superficie solo hay energía potencial:

E_R = -\frac{G M_T m_0}{R_T} = -\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 9{,}3\cdot 10^{3}}{6{,}37\cdot 10^{6}} = -5{,}81\cdot 10^{11}\ \text{J}

La energía que hay que disipar es la diferencia entre ambos estados:

\Delta E = E_O - E_R = -2{,}86\cdot 10^{11} - (-5{,}81\cdot 10^{11}) = 2{,}95\cdot 10^{11}\ \text{J}

Es del orden de la energía de unas 70 toneladas de TNT: por eso las cápsulas necesitan escudo térmico.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La masa de la nave no interviene en la velocidad orbital ni en la de escape: si la usas, es que algo va mal. En A2 sí hace falta, y es la de la cápsula ( $9{,}3\cdot 10^3\,\text{kg}$ ), no la de la nave completa.

Al restar energías negativas, cuida los signos: la energía que se disipa es positiva.