FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Castilla-La Mancha · 2025 · Junio
Enunciado
Nos encontramos en una nave espacial de masa 9⋅104 kg9\cdot 10^{4}\,\text{kg} sobre la superficie del planeta Saturno. Sabemos que el radio de este planeta es 5,82⋅104 km5{,}82\cdot 10^{4}\,\text{km}, su masa 5,68⋅1026 kg5{,}68\cdot 10^{26}\,\text{kg} y su periodo de rotación, 10 horas y 34 minutos. Elija dos apartados:

a) (1,25 puntos) Calcule el valor de la gravedad en la superficie de Saturno y la velocidad que necesita la nave para abandonar el planeta. Deduzca razonadamente las expresiones.

b) (1,25 puntos) Suponga que se lanza la nave verticalmente y que sus motores se apagan justo cuando se encuentra a una altura de 2 veces el radio de Saturno sobre su superficie, con una velocidad de 1 km/s1\,\text{km/s}. Determine a qué altura (en km) se parará antes de volver a caer sobre Saturno.

c) (1,25 puntos) Se quiere lanzar la nave para que orbite alrededor del planeta de forma «geoestacionaria» (manteniéndose siempre en la vertical de un punto de la superficie del planeta). Deduzca y calcule la altura a la que orbitará la nave.

Dato: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  g0=11,2 m/s2ve=3,61⋅104 m/s  \boxed{\;g_0 = 11{,}2\ \text{m/s}^2\qquad v_e = 3{,}61\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\;}  hmaˊx≈1,17⋅105 kmhestacionaria≈5,34⋅104 km  \boxed{\;h_{\text{máx}} \approx 1{,}17\cdot 10^{5}\ \text{km}\qquad h_{\text{estacionaria}} \approx 5{,}34\cdot 10^{4}\ \text{km}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

En a), la gravedad en la superficie es el peso por unidad de masa, g0=GM/R2g_0 = GM/R^2, y la velocidad de escape la que deja la energía mecánica total en cero.

En b), con los motores apagados solo actúa la gravedad: se conserva la energía mecánica entre el punto donde se apagan y el punto más alto, donde la velocidad es nula. Ojo: «altura de 2 veces el radio» sobre la superficie significa estar a 3R3R del centro.

En c), una órbita «estacionaria» tiene el mismo periodo que la rotación del planeta; con la tercera ley de Kepler sale el radio.
2

Desarrollo

Datos en el SI: R=5,82⋅107 mR = 5{,}82\cdot 10^{7}\,\text{m}, GM=6,67⋅10−11⋅5,68⋅1026=3,79⋅1016 m3 s−2GM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}68\cdot 10^{26} = 3{,}79\cdot 10^{16}\,\text{m}^3\,\text{s}^{-2}.

a) En la superficie, el peso es la fuerza gravitatoria:mg0=GMmR2⟹g0=GMR2=3,79⋅1016(5,82⋅107)2=11,2 m/s2m g_0 = \frac{G M m}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad g_0 = \frac{G M}{R^2} = \frac{3{,}79\cdot 10^{16}}{(5{,}82\cdot 10^{7})^2} = 11{,}2\ \text{m/s}^2Velocidad de escape: la energía mecánica total debe ser nula para llegar al infinito con velocidad cero.12mve2−GMmR=0⟹ve=2GMR=2⋅3,79⋅10165,82⋅107=3,61⋅104 m/s\frac12 m v_e^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}79\cdot 10^{16}}{5{,}82\cdot 10^{7}}} = 3{,}61\cdot 10^{4}\ \text{m/s}b) Punto donde se apagan los motores: r0=R+2R=3R=1,746⋅108 mr_0 = R + 2R = 3R = 1{,}746\cdot 10^{8}\,\text{m}, con v0=103 m/sv_0 = 10^{3}\,\text{m/s}. Conservación de la energía hasta el punto más alto (v=0v = 0):12mv02−GMmr0=−GMmrmaˊx⟹1rmaˊx=1r0−v022GM\frac12 m v_0^2 - \frac{G M m}{r_0} = -\frac{G M m}{r_{\text{máx}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r_{\text{máx}}} = \frac{1}{r_0} - \frac{v_0^2}{2 G M}1rmaˊx=11,746⋅108−1062⋅3,79⋅1016=5,714⋅10−9 m−1⟹rmaˊx=1,750⋅108 m\frac{1}{r_{\text{máx}}} = \frac{1}{1{,}746\cdot 10^{8}} - \frac{10^{6}}{2\cdot 3{,}79\cdot 10^{16}} = 5{,}714\cdot 10^{-9}\ \text{m}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad r_{\text{máx}} = 1{,}750\cdot 10^{8}\ \text{m}Altura sobre la superficie:h=rmaˊx−R=1,750⋅108−5,82⋅107=1,17⋅108 m≈1,17⋅105 kmh = r_{\text{máx}} - R = 1{,}750\cdot 10^{8} - 5{,}82\cdot 10^{7} = 1{,}17\cdot 10^{8}\ \text{m} \approx 1{,}17\cdot 10^{5}\ \text{km}Solo sube unos 400 km por encima de donde se apagaron los motores: a esa distancia la velocidad de escape es de unos 21 km/s21\,\text{km/s}, y 1 km/s1\,\text{km/s} es muy poco.

c) Periodo de rotación: T=10 h 34 min=38 040 sT = 10\,\text{h}\,34\,\text{min} = 38\,040\,\text{s}. Gravedad = fuerza centrípeta, con v=2πr/Tv = 2\pi r/T:GMmr2=m 4π2T2 r⟹r=GM T24π23=3,79⋅1016⋅(38 040)24π23=1,116⋅108 m\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}79\cdot 10^{16}\cdot (38\,040)^2}{4\pi^2}} = 1{,}116\cdot 10^{8}\ \text{m}h=r−R=1,116⋅108−5,82⋅107=5,34⋅107 m≈5,34⋅104 kmh = r - R = 1{,}116\cdot 10^{8} - 5{,}82\cdot 10^{7} = 5{,}34\cdot 10^{7}\ \text{m} \approx 5{,}34\cdot 10^{4}\ \text{km}
3

Consejo

«A una altura de 2 veces el radio sobre la superficie» es r=3Rr = 3R desde el centro, no 2R2R. Es el fallo más habitual en este tipo de apartados.

En c) el periodo es el de rotación del planeta: pásalo a segundos antes de usarlo.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El 1 de abril de 2026 se lanzó la misión Artemis II, que transportaba a la nave Orion con cuatro astronautas para…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Recientemente se ha descubierto un exoplaneta con posibilidad de albergar vida. Su nombre es «Gliese 12b» y orbita…
Física · Castilla-La Mancha · 2025 · JulioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
a) El perihelio (PP) y el afelio (AA) son los puntos de la órbita elíptica de la Tierra que se encuentran…
Física · Andalucía · 2024 · Reserva 3
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →