FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Castilla-La Mancha · 2025 · Julio

Enunciado

Recientemente se ha descubierto un exoplaneta con posibilidad de albergar vida. Su nombre es «Gliese 12b» y orbita alrededor de su estrella, «Gliese 12». El exoplaneta tiene un periodo de 12,8 días alrededor de su estrella y la distancia entre ambos es de

1{,}05\cdot 10^{7}\,\text{km}

(de centro a centro). El radio del planeta es de

6000\,\text{km}

y su masa,

5\cdot 10^{24}\,\text{kg}

. El radio de la estrella es de

9\cdot 10^{5}\,\text{km}

. Elija dos apartados:

a) (1,25 puntos) Calcule la velocidad con la que orbita alrededor de la estrella y la masa de la estrella (deduzca razonadamente las expresiones).

b) (1,25 puntos) ¿Qué velocidad mínima deberíamos proporcionar a una sonda que se hubiera posado en el planeta para que pudiese escapar de su atracción? Deduzca razonadamente la expresión.

c) (1,25 puntos) Imagine que un objeto astronómico impacta con el planeta. En la colisión se desprende un trozo pequeño, de masa

m

, que se detiene inmediatamente y se dirige hacia la estrella con velocidad inicial cero. Halle la velocidad con la que impactará sobre la superficie de la estrella, suponiendo una masa de la estrella

M = 5{,}6\cdot 10^{29}\,\text{kg}

.

Dato:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v = 5{,}97\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\qquad M = 5{,}6\cdot 10^{29}\ \text{kg}\;}

\boxed{\;v_e = 1{,}05\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\qquad v_{\text{impacto}} = 2{,}75\cdot 10^{5}\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la velocidad orbital sale de la longitud de la órbita y el periodo (

v = 2\pi d/T

), y la masa de la estrella, de igualar gravedad y fuerza centrípeta (tercera ley de Kepler).

En b), la velocidad de escape desde la superficie del planeta (masa y radio del planeta, no de la estrella).

En c), el trozo cae desde el reposo, desde la órbita hasta la superficie de la estrella, atraído solo por ella: conservación de la energía mecánica, con la energía potencial

-GMm/r

en los dos puntos. La masa

m

del trozo se simplifica.

Desarrollo

Datos en el SI:

T = 12{,}8\cdot 86\,400 = 1{,}106\cdot 10^{6}\,\text{s}

;

d = 1{,}05\cdot 10^{10}\,\text{m}

.

a) Velocidad orbital (órbita circular):

v = \frac{2\pi d}{T} = \frac{2\pi\cdot 1{,}05\cdot 10^{10}}{1{,}106\cdot 10^{6}} = 5{,}97\cdot 10^{4}\ \text{m/s}

Masa de la estrella: la gravedad hace de fuerza centrípeta,

\frac{G M m_p}{d^2} = \frac{m_p v^2}{d} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{v^2 d}{G} = \frac{4\pi^2 d^3}{G\,T^2} = \frac{4\pi^2\cdot (1{,}05\cdot 10^{10})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot (1{,}106\cdot 10^{6})^2} = 5{,}6\cdot 10^{29}\ \text{kg}

(Coincide con el dato que da el apartado c.)

b) Velocidad de escape desde la superficie del planeta (

m_p = 5\cdot 10^{24}\,\text{kg}

R_p = 6\cdot 10^{6}\,\text{m}

): la energía mecánica total debe ser cero.

\frac12 m v_e^2 - \frac{G m_p m}{R_p} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G m_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5\cdot 10^{24}}{6\cdot 10^{6}}} = 1{,}05\cdot 10^{4}\ \text{m/s}

c) Conservación de la energía entre la órbita (

r = d

v = 0

) y la superficie de la estrella (

r = R_* = 9\cdot 10^{8}\,\text{m}

), despreciando la atracción del planeta:

-\frac{G M m}{d} = \frac12 m v^2 - \frac{G M m}{R_*} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2 G M\left(\frac{1}{R_*} - \frac{1}{d}\right)}

v = \sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}6\cdot 10^{29}\left(\frac{1}{9\cdot 10^{8}} - \frac{1}{1{,}05\cdot 10^{10}}\right)} = 2{,}75\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

Consejo

Cada apartado usa un cuerpo central distinto: en a) y c), la estrella; en b), el planeta. Identifica bien masa y radio antes de sustituir.

En c) la distancia inicial es la de la órbita al centro de la estrella, y la final, el radio de la estrella: no los confundas con alturas.

Paso 1 de 3

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