Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Falsa. La energía mecánica se conserva cuando el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo:$$W_{nc} = \Delta E_m$$La resultante no tiene nada que ver. Dos contraejemplos:

• Un cuerpo en caída libre: la resultante es el peso, que no es nula, y sin embargo la energía mecánica se conserva (el peso es conservativo).
• Un cuerpo que baja a velocidad constante por un plano inclinado con rozamiento: la resultante es nula, pero el rozamiento hace un trabajo negativo y la energía mecánica disminuye (la cinética no cambia y la potencial baja).

Así que la resultante nula no es ni necesaria ni suficiente.

ii) Verdadera. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W_{nc} = 0$ y por tanto $\Delta E_m = 0$: la energía cinética y la potencial se intercambian, pero su suma se mantiene. (Más en general, también se conserva si actúan fuerzas no conservativas que no realizan trabajo, como una normal perpendicular al movimiento.)

b) i) Fuerzas sobre el niño: el peso $\vec{P}$ (vertical, hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (perpendicular al tobogán) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (paralelo al tobogán, hacia arriba, opuesto al movimiento). Se descompone el peso en una componente paralela al plano, $mg\,\text{sen}\,30^\circ$, y otra perpendicular, $mg\cos 30^\circ$.

Longitud del tobogán:$$L = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4\,\text{m}$$En la dirección perpendicular al plano no hay aceleración, así que$$N = mg\cos 30^\circ = 15\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 127{,}3\,\text{N}$$$$F_r = \mu N = 0{,}25\cdot 127{,}3 = 31{,}8\,\text{N}$$El rozamiento es opuesto al desplazamiento ($\alpha = 180^\circ$):$$W_{F_r} = F_r\,L\cos 180^\circ = -31{,}8\cdot 4 = -127{,}3\,\text{J}$$ii) Tomamos el origen de energía potencial al final del tobogán. Como parte del reposo, $E_{c,0} = 0$, y el teorema de la energía mecánica da$$W_{F_r} = \Delta E_m = (E_{c,f} + 0) - (0 + mgh)$$$$E_{c,f} = mgh + W_{F_r} = 15\cdot 9{,}8\cdot 2 - 127{,}3 = 294 - 127{,}3 = 166{,}7\,\text{J}$$Algo más del 43 % de la energía potencial inicial se disipa por rozamiento. La velocidad al llegar:$$v = \sqrt{\frac{2E_{c,f}}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 166{,}7}{15}} = 4{,}71\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Sin rozamiento habría llegado a $\sqrt{2gh} = 6{,}26\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$: el resultado es menor, como debe ser.