Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a1) i) Verdadera. Por el teorema de las fuerzas vivas (o de la energía cinética), el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la variación de su energía cinética:$$W_{\text{total}} = \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}$$Si $W_{\text{total}} > 0$, entonces $E_{c,f} > E_{c,i}$: la energía cinética aumenta necesariamente. (Ojo: esto vale para el trabajo total; el trabajo positivo de una sola fuerza no garantiza nada si otras hacen trabajo negativo).

ii) Verdadera. El trabajo elemental de una fuerza es$$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r} = F\,dr\cos 90^\circ = 0$$porque el desplazamiento $d\vec{r}$ es siempre tangente a la trayectoria. Si la fuerza resultante es siempre perpendicular a ella, el trabajo total es nulo y, por el teorema anterior, $\Delta E_c = 0$: el módulo de la velocidad no cambia. La fuerza solo cambia la dirección de la velocidad; es el caso del movimiento circular uniforme (fuerza centrípeta) o de una carga en un campo magnético.

a2) En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G M_T}{r}$$i) Falsa. La energía cinética es$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M_T m}{2r}$$inversamente proporcional al radio: al aumentar $r$, la velocidad orbital y la energía cinética disminuyen.

ii) Verdadera. La energía mecánica es$$E_m = E_c + E_p = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}$$Es negativa (el satélite está ligado) y, al aumentar $r$, su valor absoluto se hace más pequeño: se acerca a cero, así que aumenta. Por eso hay que aportar energía (encender los motores) para subir un satélite a una órbita más alta.

b1) i) Tomamos el eje $X$ a lo largo de la rampa, hacia arriba, y el eje $Y$ perpendicular a ella. En el esquema se dibujan cuatro fuerzas sobre el mueble mientras sube:

• el peso $\vec{P}$, vertical hacia abajo, con componentes $P_x = mg\,\text{sen}\,30^\circ$ (rampa abajo) y $P_y = mg\cos 30^\circ$ (contra la rampa);
• la normal $\vec{N}$, perpendicular a la rampa y hacia fuera;
• la fuerza de la persona $\vec{F}$, paralela a la rampa y hacia arriba;
• el rozamiento $\vec{F}_r$, paralelo a la rampa y hacia abajo (se opone al deslizamiento).

Módulos:$$P = mg = 40\cdot 9{,}8 = 392\ \text{N}$$En el eje $Y$ no hay movimiento, así que la normal compensa la componente perpendicular del peso:$$N = mg\cos 30^\circ = 392\cdot 0{,}866 = 339{,}5\ \text{N}$$$$F_r = \mu N = 0{,}10\cdot 339{,}5 = 33{,}9\ \text{N}$$$$F = 230\ \text{N}$$(La componente del peso a lo largo de la rampa es $P_x = 392\cdot 0{,}5 = 196\ \text{N}$; la fuerza neta en el eje $X$ es $230 - 196 - 33{,}9 \approx 0{,}05\ \text{N}$, prácticamente nula: el mueble sube a velocidad casi constante).

ii) Longitud de la rampa, con $h = 0{,}45\ \text{m}$:$$L = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{0{,}45}{0{,}5} = 0{,}90\ \text{m}$$Trabajo de cada fuerza, $W = F\,L\cos\alpha$ con $\alpha$ el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento:$$W_F = F\,L = 230\cdot 0{,}90 = 207\ \text{J}$$$$W_P = -mg\,h = -392\cdot 0{,}45 = -176{,}4\ \text{J}$$(equivale a $-P_x L = -196\cdot 0{,}90$: el peso hace trabajo negativo porque el mueble sube).$$W_N = 0 \quad\text{(perpendicular al desplazamiento)}$$$$W_{F_r} = -F_r\,L = -33{,}9\cdot 0{,}90 = -30{,}6\ \text{J}$$Trabajo total:$$W_{\text{total}} = 207 - 176{,}4 + 0 - 30{,}6 \approx 0{,}05\ \text{J} \approx 0$$El trabajo total es prácticamente nulo, coherente con que la fuerza neta lo sea: por el teorema de las fuerzas vivas, la energía cinética del mueble apenas cambia (sube a velocidad constante).

b2) i) La gravedad en la superficie de un planeta es $g_0 = GM/R^2$. Dividiendo la de Marte entre la de la Tierra:$$\frac{g_M}{g_T} = \frac{M_M}{M_T}\left(\frac{R_T}{R_M}\right)^2 = \frac{0{,}107}{0{,}532^2} = 0{,}378$$La masa del objeto es la misma en los dos planetas, así que su peso cambia en la misma proporción:$$P_M = 0{,}378\cdot 400 = 151\ \text{N}$$ii) La velocidad de escape se obtiene imponiendo energía mecánica nula al llegar al infinito:$$\frac{1}{2} m v_e^2 - \frac{G M_M m}{R_M} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_M}{R_M}} = \sqrt{2\,g_M R_M}$$con$$g_M = 0{,}378\cdot 9{,}8 = 3{,}70\ \text{m}\,\text{s}^{-2} \qquad R_M = 0{,}532\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}39\cdot 10^{6}\ \text{m}$$$$v_e = \sqrt{2\cdot 3{,}70\cdot 3{,}39\cdot 10^{6}} = 5{,}01\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Unos $5\ \text{km/s}$, menos de la mitad de la velocidad de escape terrestre ($11{,}2\ \text{km/s}$).