Núcleo atómico y reacciones nucleares

a1) En toda reacción nuclear se conservan:

• el número másico $A$ (número total de nucleones): la suma de los superíndices es la misma a los dos lados;
• la carga eléctrica, es decir, el número atómico $Z$: la suma de los subíndices es la misma a los dos lados.

i)$$A:\ 27 + 4 = 30 + A \;\Rightarrow\; A = 1 \qquad Z:\ 13 + 2 = 15 + Z \;\Rightarrow\; Z = 0$$Una partícula con $A = 1$ y $Z = 0$ es un neutrón:$$^{27}_{13}\text{Al} + {}^{4}_{2}\text{He} \rightarrow {}^{30}_{15}\text{P} + {}^{1}_{0}\text{n}$$(Es la reacción con la que los Joliot-Curie obtuvieron el primer isótopo radiactivo artificial).

ii)$$A:\ 1 + 235 = A + 95 + 2\cdot 1 \;\Rightarrow\; A = 139 \qquad Z:\ 0 + 92 = 56 + Z + 0 \;\Rightarrow\; Z = 36$$$$^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{139}_{56}\text{Ba} + {}^{95}_{36}\text{Kr} + 2\,{}^{1}_{0}\text{n}$$Es una reacción de fisión del uranio-235: el kriptón tiene, en efecto, $Z = 36$.

a2) Falso. Por la hipótesis de De Broglie, el momento lineal del electrón es$$p = \frac{h}{\lambda}$$y, en régimen no relativista, su energía cinética es$$E_c = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$$La energía cinética es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de onda. Si $\lambda' = \lambda/2$:$$\frac{E_c'}{E_c} = \left(\frac{\lambda}{\lambda'}\right)^2 = 2^2 = 4$$Al reducir la longitud de onda a la mitad se duplica el momento lineal, pero la energía cinética se cuadruplica, no se duplica.

b1) i) Reactivos: ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H}$, con $A = 2 + 3 = 5$ y $Z = 1 + 1 = 2$. El helio-4 se lleva $A = 4$ y $Z = 2$, así que queda una partícula con $A = 1$ y $Z = 0$: un neutrón. Aplicando la conservación de $A$ y de $Z$:$$^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$$Es una reacción de fusión nuclear.

ii) Defecto de masa de la reacción (masa de reactivos menos masa de productos):$$\Delta m = \left[m({}^{2}_{1}\text{H}) + m({}^{3}_{1}\text{H})\right] - \left[m({}^{4}_{2}\text{He}) + m_n\right]$$$$\Delta m = (2{,}014102 + 3{,}016049) - (4{,}002603 + 1{,}008665) = 5{,}030151 - 5{,}011268 = 0{,}018883\ \text{u}$$En kilogramos: $\Delta m = 0{,}018883\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 3{,}13\cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. La energía liberada es$$E = \Delta m\,c^2 = 3{,}13\cdot 10^{-29}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 2{,}82\cdot 10^{-12}\ \text{J}$$por cada núcleo de helio formado (unos $17{,}6\ \text{MeV}$). Como $\Delta m > 0$, la reacción libera energía.

iii) El ${}^{4}_{2}\text{He}$ tiene 2 protones y 2 neutrones. Su defecto de masa respecto a los nucleones libres es$$\Delta m = 2\,m_p + 2\,m_n - m({}^{4}_{2}\text{He}) = 2\cdot 1{,}007276 + 2\cdot 1{,}008665 - 4{,}002603 = 0{,}029279\ \text{u}$$Energía de enlace:$$E_e = \Delta m\,c^2 = 0{,}029279\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 4{,}37\cdot 10^{-12}\ \text{J}$$Energía de enlace por nucleón ($A = 4$):$$\frac{E_e}{A} = \frac{4{,}37\cdot 10^{-12}}{4} = 1{,}09\cdot 10^{-12}\ \text{J/nucleón}$$(unos $6{,}8\ \text{MeV}$ por nucleón: el helio-4 es un núcleo ligero muy estable).

Es el cálculo que se espera con los datos del examen. Afinando, la masa del helio que da el enunciado es la del átomo (con sus dos electrones) y la de los protones es la de partículas sueltas: con la masa del átomo de hidrógeno, $1{,}007825\ \text{u}$, en lugar de $m_p$, el defecto de masa sale $0{,}030377\ \text{u}$ y la energía por nucleón, unos $7{,}1\ \text{MeV}$, el valor de las tablas.

b2) i) Por la relación de De Broglie, $\lambda = \dfrac{h}{m v}$:$$v = \frac{h}{m_{\text{He}}\,\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot 3\cdot 10^{-11}} = 3{,}33\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Muy por debajo de $c$, así que vale la expresión clásica de la energía cinética:$$E_c = \frac{1}{2} m_{\text{He}} v^2 = \frac{1}{2}\cdot 6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot (3{,}33\cdot 10^{3})^2 = 3{,}68\cdot 10^{-20}\ \text{J}$$ii) El núcleo parte del reposo y toda su energía cinética procede del trabajo del campo eléctrico. Por conservación de la energía, $E_c = q\,\Delta V$, con la carga del núcleo de helio, $q = 2e = 3{,}2\cdot 10^{-19}\ \text{C}$:$$\Delta V = \frac{E_c}{q} = \frac{3{,}68\cdot 10^{-20}}{3{,}2\cdot 10^{-19}} = 0{,}115\ \text{V}$$