Núcleo atómico y reacciones nucleares

a) i) El potencial de frenado $V_f$ es la diferencia de potencial mínima que, aplicada en contra, detiene incluso a los electrones más rápidos. El campo realiza sobre cada electrón un trabajo $W = -e\,V_f$ que, por el teorema de la energía cinética, anula su energía cinética máxima ($0 - E_{c,\text{máx}} = -e\,V_f$):$$e\,V_f = E_{c,\text{máx}} = \tfrac{1}{2}m_e v_{\text{máx}}^2$$$$v_{\text{máx}} = \sqrt{\frac{2 e V_f}{m_e}}$$ii) Si el potencial de frenado se reduce a la mitad, $V_f' = V_f/2$:$$\frac{v'_{\text{máx}}}{v_{\text{máx}}} = \sqrt{\frac{V_f'}{V_f}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$$La velocidad máxima no se reduce a la mitad, sino que queda dividida por $\sqrt{2}$, porque la energía va con el cuadrado de la velocidad.

b1) i) Ajustando números másicos y atómicos:$$^{10}_{5}\text{B} + \,^{1}_{0}\text{n} \;\longrightarrow\; ^{4}_{2}\text{He} + \,^{7}_{3}\text{Li}$$($10+1 = 4+7$ y $5+0 = 2+3$.)

ii) Defecto de masa:$$\Delta m = (10{,}012937 + 1{,}008665) - (4{,}002603 + 7{,}016003)$$$$\Delta m = 11{,}021602 - 11{,}018606 = 2{,}996\cdot 10^{-3}\ \text{u}$$En kilogramos y energía, por reacción:$$E_1 = \Delta m\,c^2 = 2{,}996\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^{8})^2 = 4{,}48\cdot 10^{-13}\ \text{J}$$(equivale a $2{,}80\,\text{MeV}$ por reacción). Cada reacción produce un núcleo de litio, así que para $1{,}5\cdot 10^{6}$ núcleos:$$E = 1{,}5\cdot 10^{6}\cdot 4{,}48\cdot 10^{-13} = 6{,}71\cdot 10^{-7}\ \text{J}$$b2) $E_c = 7{,}2\cdot 10^{-16}\,\text{J}$ para ambas partículas.

i) El momento lineal se obtiene de $E_c = p^2/2m$:$$p = \sqrt{2\,m\,E_c} \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}$$Electrón:$$p_e = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-16}} = 3{,}62\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda_e = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}62\cdot 10^{-23}} = 1{,}83\cdot 10^{-11}\ \text{m}$$Protón:$$p_p = \sqrt{2\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-16}} = 1{,}56\cdot 10^{-21}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda_p = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}56\cdot 10^{-21}} = 4{,}24\cdot 10^{-13}\ \text{m}$$El protón, mucho más masivo, tiene una longitud de onda unas $43$ veces menor.

ii) Para detener una partícula cargada, el campo eléctrico tiene que quitarle toda su energía cinética, que se convierte en energía potencial eléctrica. Por conservación de la energía:$$\Delta E_c + \Delta E_p = 0 \quad\Longrightarrow\quad 0 - E_c + q\,\Delta V = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta V = \frac{E_c}{q}$$$$|\Delta V| = \frac{7{,}2\cdot 10^{-16}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 4{,}5\cdot 10^{3}\ \text{V}$$El módulo es el mismo para los dos ($4500\,\text{V}$), pero el signo es opuesto porque sus cargas lo son:

• Protón ($q = +e$): $\Delta V = +4500\,\text{V}$. Su energía potencial $qV$ solo crece si va hacia potenciales mayores: el potencial debe aumentar $4500\,\text{V}$.
• Electrón ($q = -e$): $\Delta V = -4500\,\text{V}$. Con carga negativa, $qV$ crece cuando $V$ baja: hay que llevarlo hacia potenciales menores, el potencial debe disminuir $4500\,\text{V}$.

(Es lo contrario de su movimiento espontáneo: las cargas positivas se aceleran hacia potenciales menores y las negativas hacia potenciales mayores.)