FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Comunidad de Madrid · 2025 · Julio

Enunciado

En Lund, Suecia, se está construyendo la futura Fuente Europea de Neutrones por Espalación. Los neutrones, por las características de la interacción neutrón-materia, son una herramienta muy eficiente para estudiar, analizar y comprender la estructura y propiedades de la materia. Las instalaciones de la Fuente Europea de Neutrones constan de un acelerador lineal en el que se aceleran protones,

\text{H}^+

, hasta alcanzar, al final del acelerador, una energía cinética de

2\,\text{GeV}

. Posteriormente, se hace impactar el haz de protones sobre un blanco, consistente en un bloque giratorio de tungsteno mantenido a baja temperatura. Como consecuencia del choque el blanco emite neutrones. A los neutrones se les hace pasar por diferentes moderadores, áreas a una determinada temperatura, para modificar su energía cinética.

a) (1,5 puntos) Determine la masa relativista de los protones al final del acelerador lineal, cuando su energía cinética es de

2\,\text{GeV}

.

b) (1 punto) Si se obtienen neutrones con una energía cinética de

25\,\text{meV}

(no relativista), ¿cuál es el valor de su velocidad y de la longitud de onda de de Broglie?

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3{,}0\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Masa del protón en reposo,

m_{p_0} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

; Masa del neutrón,

m_n = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m = 5{,}23\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\;}

\boxed{\;v = 2{,}19\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad \lambda = 1{,}81\cdot 10^{-10}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El texto es largo, pero lo que se pide son dos cuentas cortas en dos mundos muy distintos.

Los protones del acelerador llevan una energía cinética de

2\,\text{GeV}

, que es más del doble de su energía en reposo (unos

0{,}94\,\text{GeV}

): son claramente relativistas. Su energía total es la de reposo más la cinética, y esa energía total es

mc^2

, con

m

la masa relativista. Basta con despejar

m

.

Los neutrones del apartado b), en cambio, tienen una energía minúscula (

25\,\text{meV}

, milielectronvoltios: neutrones «térmicos»). El enunciado ya avisa de que no son relativistas, así que su velocidad sale de la energía cinética clásica, y con ella el momento lineal y la longitud de onda de de Broglie.

Desarrollo

a) Pasamos la energía cinética a julios:

E_c = 2\cdot 10^{9}\,\text{eV}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{J/eV} = 3{,}2\cdot 10^{-10}\ \text{J}

La energía total de una partícula relativista es su energía en reposo más la cinética, y se escribe como

mc^2

, donde

m

es la masa relativista:

E = m\,c^2 = m_{p_0}\,c^2 + E_c \quad\Longrightarrow\quad m = m_{p_0} + \frac{E_c}{c^2}

El término

E_c/c^2

es lo que «gana» de masa el protón al acelerarlo:

\frac{E_c}{c^2} = \frac{3{,}2\cdot 10^{-10}}{(3{,}0\cdot 10^{8})^2} = 3{,}56\cdot 10^{-27}\ \text{kg}

m = 1{,}67\cdot 10^{-27} + 3{,}56\cdot 10^{-27} = 5{,}23\cdot 10^{-27}\ \text{kg}

La masa relativista es unas

3{,}13

veces la masa en reposo (

\gamma = m/m_{p_0} \approx 3{,}13

), lo que corresponde a una velocidad de alrededor del

95\,\%

de la de la luz: tratar estos protones con la mecánica clásica habría sido un error grave.

b) Energía cinética de los neutrones en julios:

E_c = 25\cdot 10^{-3}\,\text{eV}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{J/eV} = 4{,}0\cdot 10^{-21}\ \text{J}

Como no son relativistas, usamos la expresión clásica de la energía cinética y despejamos la velocidad:

E_c = \frac{1}{2}\,m_n\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_n}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{-21}}{1{,}67\cdot 10^{-27}}} = 2{,}19\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

La longitud de onda de de Broglie es la constante de Planck entre el momento lineal

p = m_n v

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_n\,v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 2{,}19\cdot 10^{3}} = 1{,}81\cdot 10^{-10}\ \text{m}

Unos

0{,}18\,\text{nm}

: del orden de la distancia entre átomos en un sólido. Por eso estos neutrones lentos sirven para «ver» la estructura de la materia por difracción, que es justo para lo que se construye la instalación.

Consejo

Antes de elegir fórmula, compara la energía cinética con la energía en reposo $mc^2$ (para un protón o un neutrón, unos $938\,\text{MeV}$ ). Si $E_c$ es comparable o mayor, la partícula es relativista y no vale $\tfrac{1}{2}mv^2$ ; si es mucho menor, la física clásica sobra.

Cuidado con los prefijos: $\text{GeV}$ es $10^{9}\,\text{eV}$ y $\text{meV}$ (con «m» minúscula) es $10^{-3}\,\text{eV}$ , no un megaelectronvoltio ( $\text{MeV}$ ).