FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

Enunciado

En la figura se muestra la propagación de una onda transversal sinusoidal para el instante

t = 1\,\text{s}

. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje

x

, su periodo es

T = 2\,\text{s}

y su amplitud

A = 20\,\text{cm}

. Si el punto O es el origen de coordenadas, determina razonadamente:

Perfil de la onda en t = 1 s: en el origen O la elongación es mínima (un valle) y a la derecha se suceden crestas y valles. Una flecha de 40 cm abarca desde la primera cresta hasta la tercera, es decir, dos longitudes de onda.

a) La longitud de onda, la frecuencia angular, la velocidad de propagación, la fase inicial y escribe la función de onda. (1 punto)

b) La expresión de la velocidad de vibración. Calcula dicha velocidad para

t = 10\,\text{s}

x = 1\,\text{m}

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\lambda = 0{,}2\,\text{m}

;

\omega = \pi\,\text{rad/s}

;

v = 0{,}1\,\text{m/s}

;

\varphi_0 = \pi/2\,\text{rad}

;

y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}(\pi t - 10\pi x + \pi/2)

(m).

b)

v_y = 0{,}2\pi\cos(\pi t - 10\pi x + \pi/2)

(m/s); en

t = 10\,\text{s}

x = 1\,\text{m}

v_y = 0

(el punto está en una cresta).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La figura es una «foto» de la onda en

t = 1\,\text{s}

: de ella se lee la longitud de onda (la flecha de 40 cm abarca dos ondas completas, de cresta a cresta) y el estado del origen en ese instante (está en un valle,

y = -A

). Con

T

\lambda

salen

\omega

k

v

. La fase inicial se elige para que la función de onda dé

y(0,\,1) = -A

, como en la figura.

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con

x

fijo; no hay que confundirla con la velocidad de propagación.

Desarrollo

a) Longitud de onda. Entre la primera y la tercera cresta hay dos longitudes de onda:

2\lambda = 40\,\text{cm} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 20\,\text{cm} = 0{,}2\,\text{m}

Frecuencia angular y número de onda.

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\,\text{rad/s} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\,\text{rad/m}

Velocidad de propagación.

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k} = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1\,\text{m/s}

Forma de la función de onda. Para una onda que avanza hacia

+x

y(x,\,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

Fase inicial. En la figura, en

t = 1\,\text{s}

el origen está en un valle,

y(0,\,1) = -A

A\,\text{sen}(\pi\cdot1 + \varphi_0) = -A \quad\Longrightarrow\quad \pi + \varphi_0 = \frac{3\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}

Comprobación: en

t = 1\,\text{s}

x = 0{,}1\,\text{m}

la fase es

\pi - \pi + \pi/2 = \pi/2

y = +A

, la cresta que se ve a 10 cm del origen.

Función de onda.

y(x,\,t) = 0{,}2\,\text{sen}\!\left(\pi t - 10\pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{(m)}

b) Velocidad de vibración. Es la derivada de la elongación respecto del tiempo en un punto fijo:

v_y(x,\,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0) = 0{,}2\pi\cos\!\left(\pi t - 10\pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{(m/s)}

con un valor máximo

A\omega = 0{,}2\pi = 0{,}63\,\text{m/s}

.

En $t = 10\,\text{s}$ y $x = 1\,\text{m}$ . La fase vale

10\pi - 10\pi + \pi/2 = \pi/2

v_y = 0{,}2\pi\cos\frac{\pi}{2} = 0\,\text{m/s}

El punto está en ese instante en una cresta (

y = 0{,}2\,\text{m}

, máxima elongación), donde se para un instante antes de volver a bajar.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien la figura: la flecha de 40 cm va de cresta a cresta pasando por otra cresta, así que son dos longitudes de onda, no una. Comprueba tu función de onda en un punto de la gráfica.

La fase inicial depende de cómo escribas la onda (seno o coseno, $\omega t - kx$ o $kx - \omega t$ ): cualquiera vale si la ecuación reproduce la figura en $t = 1\,\text{s}$ . Dilo y compruébalo.