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Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

Enunciado

En septiembre de 2023, la NASA y otras agencias espaciales celebraron el éxito de la misión OSIRIS-REx, que trajo muestras del asteroide Bennu a la Tierra. Se sabe que Bennu tiene un diámetro de aproximadamente

493\,\text{m}

y una masa estimada de

6\cdot10^{10}\,\text{kg}

.

a) Se envió de vuelta a la Tierra un contenedor de

46\,\text{kg}

con muestras del asteroide. Este llegó a la atmósfera superior (

133\,\text{km}

de altura) con una velocidad de

44\,500\,\text{km/h}

e inició las maniobras de frenado. Finalmente aterrizó en un campo de pruebas en Utah. ¿Cuánta energía mecánica perdió en el descenso, hasta aterrizar? (1 punto)

b) Calcula cuántas veces menos pesará este contenedor situado en la superficie de Bennu en comparación con su peso en la superficie de la Tierra. Supón que Bennu tiene forma esférica y es homogéneo. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal,

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2

; radio de la Tierra,

R_T = 6370\,\text{km}

; masa de la Tierra,

M_T = 6\cdot10^{24}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

E_{m,1} = 6{,}83\cdot10^{8}\,\text{J}

E_{m,2} = -2{,}89\cdot10^{9}\,\text{J}

: perdió

3{,}57\cdot10^{9}\,\text{J}

de energía mecánica.

b)

P_T = 454\,\text{N}

P_B = 3{,}03\cdot10^{-3}\,\text{N}

: en Bennu pesa unas

1{,}50\cdot10^{5}

veces menos.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la energía mecánica no se conserva: el rozamiento con la atmósfera (y el paracaídas) frena el contenedor. Lo que pierde es la diferencia entre la energía mecánica al llegar a la atmósfera (cinética más potencial, a

R_T + h

del centro) y la que tiene al aterrizar (en reposo sobre la superficie, solo potencial). A 133 km de altura conviene usar la energía potencial exacta,

-GM_Tm/r

, con el origen en el infinito.

En b) el peso es la masa por la gravedad del lugar,

g = GM/R^2

. La masa del contenedor se cancela al dividir: el cociente de pesos es el de las gravedades en las dos superficies.

Desarrollo

a) Datos en el SI.

v = 44\,500\,\text{km/h} = 1{,}236\cdot10^{4}\,\text{m/s}

; distancia al centro de la Tierra al llegar a la atmósfera,

r_1 = R_T + h = 6{,}503\cdot10^{6}\,\text{m}

; al aterrizar,

r_2 = R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}

.

Energía mecánica. Con el origen de la energía potencial en el infinito:

E_m = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M_T m}{r}

Al llegar a la atmósfera.

E_{c,1} = \frac{1}{2}\cdot46\cdot(1{,}236\cdot10^{4})^2 = 3{,}51\cdot10^{9}\,\text{J} \qquad E_{p,1} = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot46}{6{,}503\cdot10^{6}} = -2{,}83\cdot10^{9}\,\text{J}

E_{m,1} = 3{,}51\cdot10^{9} - 2{,}83\cdot10^{9} = 6{,}83\cdot10^{8}\,\text{J}

Al aterrizar. Queda en reposo, así que solo tiene energía potencial:

E_{m,2} = -\frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot46}{6{,}37\cdot10^{6}} = -2{,}89\cdot10^{9}\,\text{J}

Energía mecánica perdida. Es la que se han llevado las fuerzas no conservativas (rozamiento con el aire, paracaídas), que se disipa sobre todo como calor:

\Delta E_{\text{perdida}} = E_{m,1} - E_{m,2} = 6{,}83\cdot10^{8} - (-2{,}89\cdot10^{9}) = 3{,}57\cdot10^{9}\,\text{J}

Casi toda es la energía cinética de llegada: la diferencia de energía potencial entre los 133 km y el suelo es solo de

5{,}9\cdot10^{7}\,\text{J}

.

b) Peso en cada superficie. El peso es

P = m g_0

, con

g_0 = GM/R^2

en la superficie de un cuerpo esférico y homogéneo.

En la Tierra:

g_{0,T} = \frac{G M_T}{R_T^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2} = 9{,}86\,\text{m/s}^2 \quad\Longrightarrow\quad P_T = 46\cdot9{,}86 = 454\,\text{N}

En Bennu, de radio

R_B = 493/2 = 246{,}5\,\text{m}

g_{0,B} = \frac{G M_B}{R_B^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{10}}{246{,}5^2} = 6{,}59\cdot10^{-5}\,\text{m/s}^2 \quad\Longrightarrow\quad P_B = 46\cdot6{,}59\cdot10^{-5} = 3{,}03\cdot10^{-3}\,\text{N}

Relación entre los pesos. La masa del contenedor se cancela:

\frac{P_T}{P_B} = \frac{g_{0,T}}{g_{0,B}} = \frac{M_T}{M_B}\left(\frac{R_B}{R_T}\right)^2 = \frac{6\cdot10^{24}}{6\cdot10^{10}}\cdot\left(\frac{246{,}5}{6{,}37\cdot10^{6}}\right)^2 = 1{,}50\cdot10^{5}

En Bennu el contenedor pesa unas 150 000 veces menos que en la Tierra: unos 3 milinewtons, el peso de un tercio de gramo en la Tierra.

Consejo

Para la energía perdida, escribe primero la energía mecánica de cada estado con su expresión general y después los números: esa expresión ya vale 0,3 puntos. El signo de la energía potencial (negativo, con el origen en el infinito) es donde más se falla.

En b) piden un cociente: calcula los dos pesos (cada uno puntúa), pero razona que la masa del contenedor se cancela y que la relación solo depende de $M$ y de $R^2$ .