FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunitat Valenciana · 2025 · Junio (reserva)
Enunciado
La órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente circular, tiene un radio de 149,6149{,}6 millones de km y un periodo de 365,25365{,}25 días. Deduce razonadamente:

a) La expresión que permite calcular la masa del Sol, determina su valor y calcula la aceleración de la gravedad sobre su superficie. (1 punto)

b) La expresión de la velocidad mínima que necesitaría un objeto para que, al lanzarlo desde la superficie del Sol, se pueda alejar indefinidamente de éste. Calcula su valor. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2; radio del Sol, R=6,96⋅105 kmR = 6{,}96\cdot10^{5}\,\text{km}
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Resultado
a) M=4π2r3GT2=1,99⋅1030 kgM = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = 1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}; en la superficie del Sol, g0=GM/R2=274 m/s2g_0 = GM/R^2 = 274\,\text{m/s}^2.

b) ve=2GM/R=6,18⋅105 m/sv_e = \sqrt{2GM/R} = 6{,}18\cdot10^{5}\,\text{m/s} (unos 618 km/s618\,\text{km/s}).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La Tierra gira alrededor del Sol porque la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Igualando las dos fuerzas y escribiendo la velocidad en función del periodo sale la tercera ley de Kepler, T2∝r3T^2 \propto r^3, y de ella se despeja la masa del Sol: la masa de la Tierra se cancela, así que no hace falta conocerla. Con la masa, la gravedad en la superficie es g0=GM/R2g_0 = GM/R^2.

En b) se pide la velocidad de escape: la energía mecánica del objeto tiene que llegar justo a cero en el infinito. Como la gravedad es conservativa, basta con igualar la energía mecánica en la superficie a cero.
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Desarrollo

a) Unidades al SI. r=149,6⋅106 km=1,496⋅1011 mr = 149{,}6\cdot10^{6}\,\text{km} = 1{,}496\cdot10^{11}\,\text{m}, T=365,25⋅86 400 s=3,156⋅107 sT = 365{,}25\cdot86\,400\,\text{s} = 3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s} y R=6,96⋅108 mR = 6{,}96\cdot10^{8}\,\text{m}.

Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta. Para la Tierra, de masa mm, en una órbita circular de radio rr:GMmr2=m v2r⟹v2=GMr\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G M}{r}Velocidad en función del periodo. En una vuelta recorre 2πr2\pi r en un tiempo TT, así que v=2πr/Tv = 2\pi r/T. Sustituyendo:4π2r2T2=GMr⟹T2=4π2GM r3⟹M=4π2r3G T2\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r} \quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\,r^3 \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}Masa del Sol.M=4π2 (1,496⋅1011)36,67⋅10−11⋅(3,156⋅107)2=1,99⋅1030 kgM = \frac{4\pi^2\,(1{,}496\cdot10^{11})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(3{,}156\cdot10^{7})^2} = 1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}Gravedad en la superficie del Sol. Es el campo gravitatorio a una distancia RR del centro:g0=GMR2=6,67⋅10−11⋅1,99⋅1030(6,96⋅108)2=274 m/s2g_0 = \frac{G M}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}}{(6{,}96\cdot10^{8})^2} = 274\,\text{m/s}^2unas 28 veces la gravedad en la superficie de la Tierra.

b) Conservación de la energía mecánica. Sobre el objeto solo actúa la gravedad, que es conservativa. Con el origen de la energía potencial en el infinito, la velocidad mínima es la que lo deja llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con Em=0E_m = 0:12mve2−GMmR=0⟹ve=2GMR\frac{1}{2} m v_e^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}No depende de la masa del objeto.

Valor numérico.ve=2⋅6,67⋅10−11⋅1,99⋅10306,96⋅108=6,18⋅105 m/sv_e = \sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}}{6{,}96\cdot10^{8}}} = 6{,}18\cdot10^{5}\,\text{m/s}unos 618 km/s618\,\text{km/s}.
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Consejo

El 60 % del apartado a) es la deducción: escribe la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta y llega a la tercera ley de Kepler antes de poner un solo número.

Ojo con las unidades: el radio en metros y el periodo en segundos (no en días). Un periodo en días da una masa del Sol absurda, y el corrector lo ve enseguida.
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