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Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

Enunciado

La posición de un cuerpo, de masa

m = 1{,}5\,\text{g}

, que oscila respecto a su posición de equilibrio, está descrita por la función

x(t) = 0{,}10\cos\!\left(10\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right)

en unidades del Sistema Internacional.

a) ¿Qué tipo de movimiento realiza el cuerpo? Calcula el período de oscilación, así como la posición y la velocidad del cuerpo para

t = 1\,\text{s}

. (1 punto)

b) Calcula la energía mecánica total del cuerpo, su energía cinética y su energía potencial en el instante en que la posición del cuerpo se corresponde con la mitad de la amplitud del movimiento. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Movimiento armónico simple con

A = 0{,}10\,\text{m}

\omega = 10\pi\,\text{rad/s}

;

T = 0{,}2\,\text{s}

. En

t = 1\,\text{s}

x = 0\,\text{m}

v = -\pi\,\text{m/s} \approx -3{,}14\,\text{m/s}

.

b)

E = \tfrac12 m\omega^2A^2 = 7{,}40\cdot10^{-3}\,\text{J}

; en

x = A/2

E_p = 1{,}85\cdot10^{-3}\,\text{J}

E_c = 5{,}55\cdot10^{-3}\,\text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La posición es una función coseno del tiempo: es un movimiento armónico simple, y de la ecuación se leen directamente la amplitud y la pulsación. La velocidad sale derivando la posición. Para las energías, la clave es que la energía mecánica de un oscilador es constante,

\tfrac12 kA^2

, y que la potencial depende de

x^2

: en

x = A/2

la potencial es la cuarta parte de la total y la cinética, el resto.

Desarrollo

a) Tipo de movimiento. La ecuación tiene la forma

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)

: es un movimiento armónico simple de amplitud y pulsación

A = 0{,}10\,\text{m} \qquad \omega = 10\pi\,\text{rad/s}

Periodo.

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\,\text{s}

Posición en $t = 1\,\text{s}$ . El instante

t = 1\,\text{s}

son exactamente 5 periodos, así que el cuerpo está igual que en

t = 0

x(1) = 0{,}10\cos\!\left(10\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}10\cos\frac{\pi}{2} = 0\,\text{m}

Pasa por la posición de equilibrio.

Velocidad en $t = 1\,\text{s}$ . Derivando la posición:

v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi_0) = -0{,}10\cdot10\pi\,\sin\!\left(10\pi t + \frac{\pi}{2}\right) = -\pi\,\sin\!\left(10\pi t + \frac{\pi}{2}\right)

v(1) = -\pi\,\sin\frac{\pi}{2} = -\pi\,\text{m/s} \approx -3{,}14\,\text{m/s}

Es la velocidad máxima,

A\omega

, como corresponde al paso por el equilibrio, y el signo menos dice que se mueve hacia las

x

negativas.

b) Energía mecánica. La constante recuperadora es

k = m\,\omega^2

, con

m = 1{,}5\cdot10^{-3}\,\text{kg}

. La energía mecánica es constante e igual a la potencial en el extremo:

E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\,\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}\cdot1{,}5\cdot10^{-3}\cdot(10\pi)^2\cdot0{,}10^2 = 7{,}40\cdot10^{-3}\,\text{J}

Energía potencial en $x = A/2$ .

E_p = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}kA^2 = \frac{E}{4} = 1{,}85\cdot10^{-3}\,\text{J}

Energía cinética en $x = A/2$ . Por conservación de la energía mecánica:

E_c = E - E_p = \frac{3}{4}E = 5{,}55\cdot10^{-3}\,\text{J}

Consejo

La masa viene en gramos: pásala a kilogramos antes de calcular energías, o te saldrán mil veces mayores.

Trabaja con la calculadora en radianes. Y en b) basta con razonar que $E_p \propto x^2$ : en $x = A/2$ es $E/4$ , y la cinética, $3E/4$ , sin necesidad de calcular la velocidad.