FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunitat Valenciana · 2025 · Junio
Enunciado
Una estación espacial gira alrededor de un planeta describiendo una órbita circular con una velocidad v=6,7 km/sv = 6{,}7\,\text{km/s}. Deduce razonadamente:

a) La expresión simbólica de la altura hh, a la que se encontrará la estación espacial respecto a la superficie del planeta, en función de las magnitudes proporcionadas (vv, g0g_0 y RR). Calcula su valor numérico. (1 punto)

b) La expresión simbólica de la aceleración de la gravedad, gg, en función de la altura, hh, y de la aceleración en la superficie del planeta, g0g_0. Calcula su valor numérico para la posición en la que se encuentra la estación espacial. (1 punto)

Datos: aceleración de la gravedad en la superficie del planeta, g0=9 m s−2g_0 = 9\,\text{m s}^{-2}; radio del planeta, R=5500 kmR = 5500\,\text{km}
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Resultado
a) h=g0R2v2−R=5,65⋅105 mh = \dfrac{g_0R^2}{v^2} - R = 5{,}65\cdot10^{5}\,\text{m} (unos 565 km565\,\text{km}).

b) g=g0 R2(R+h)2=7,40 m/s2g = g_0\,\dfrac{R^2}{(R+h)^2} = 7{,}40\,\text{m/s}^2 a la altura de la estación.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

No nos dan ni GG ni la masa del planeta, pero sí g0g_0 y RR: el truco es usar g0=GM/R2g_0 = GM/R^2 para sustituir GM=g0R2GM = g_0R^2 en todas las fórmulas. En a), en una órbita circular la gravedad es la fuerza centrípeta; de ahí sale el radio de la órbita, R+hR + h, y restando RR, la altura. En b), gg disminuye con el cuadrado de la distancia al centro del planeta: basta con comparar gg a la altura hh con g0g_0 en la superficie.
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Desarrollo

a) La gravedad como fuerza centrípeta. En la órbita circular de radio r=R+hr = R + h, la fuerza gravitatoria del planeta (masa MM) sobre la estación (masa mm) es la fuerza centrípeta:GMm(R+h)2=mv2R+h⟹v2=GMR+h\frac{G M m}{(R+h)^2} = \frac{m v^2}{R+h} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G M}{R+h}Gravedad en la superficie. En la superficie, g0=GMR2g_0 = \dfrac{G M}{R^2}, de modo que GM=g0R2G M = g_0 R^2. Sustituyendo:v2=g0R2R+h⟹R+h=g0R2v2⟹h=g0R2v2−Rv^2 = \frac{g_0 R^2}{R+h} \quad\Longrightarrow\quad R + h = \frac{g_0 R^2}{v^2} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{g_0 R^2}{v^2} - RValor numérico. Con R=5,5⋅106 mR = 5{,}5\cdot10^{6}\,\text{m} y v=6,7⋅103 m/sv = 6{,}7\cdot10^{3}\,\text{m/s}:h=9⋅(5,5⋅106)2(6,7⋅103)2−5,5⋅106=6,065⋅106−5,5⋅106=5,65⋅105 mh = \frac{9\cdot(5{,}5\cdot10^{6})^2}{(6{,}7\cdot10^{3})^2} - 5{,}5\cdot10^{6} = 6{,}065\cdot10^{6} - 5{,}5\cdot10^{6} = 5{,}65\cdot10^{5}\,\text{m}La estación orbita a unos 565 km565\,\text{km} de altura.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Gravedad a una altura hh. A una distancia R+hR + h del centro, g=GM(R+h)2g = \dfrac{G M}{(R+h)^2}. Dividiendo entre g0=GMR2g_0 = \dfrac{G M}{R^2} se va GMGM:g=g0 R2(R+h)2g = g_0\,\frac{R^2}{(R+h)^2}(la expresión pide también RR, que es un dato del planeta).

Valor numérico.g=9⋅(5,5⋅106)2(6,065⋅106)2=7,40 m/s2g = 9\cdot\frac{(5{,}5\cdot10^{6})^2}{(6{,}065\cdot10^{6})^2} = 7{,}40\,\text{m/s}^2Como comprobación, en la órbita gg es justo la aceleración centrípeta: v2/(R+h)=(6,7⋅103)2/6,065⋅106=7,40 m/s2v^2/(R+h) = (6{,}7\cdot10^3)^2/6{,}065\cdot10^6 = 7{,}40\,\text{m/s}^2.
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Consejo

Cuando el enunciado da g0g_0 y RR en lugar de GG y MM, escribe GM=g0R2GM = g_0R^2 al principio: es la clave para expresar todo con las magnitudes que piden, que vale el 60 % de cada apartado.

No confundas hh con el radio de la órbita: en las fórmulas va R+hR + h. Y pasa los kilómetros a metros antes de operar.
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