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Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

Enunciado

Dos estrellas, A y B, del sistema IK Pegasi se encuentran en la posición indicada en la figura, separadas entre sí una distancia

6\text{d}

. Calcula razonadamente:

Ejes x e y con la estrella A en el eje x a 3d a la izquierda del origen, la estrella B a 3d a la derecha y el punto P sobre el eje y, a una altura 4d.

a) El vector campo gravitatorio total en el punto

\text{P}\,(0,\,4\text{d})

. (1 punto)

b) La energía potencial de un cuerpo de masa

1\,\text{kg}

situado en el punto P. ¿Qué velocidad mínima deberá tener dicho cuerpo para alejarse indefinidamente del sistema estelar, partiendo del punto P? (1 punto)

Datos:

\text{d} = 5\cdot10^{9}\,\text{m}

; constante de gravitación universal,

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2

; masa de la estrella A,

M_A = 3{,}3\cdot10^{30}\,\text{kg}

; masa de la estrella B,

M_B = 2{,}3\cdot10^{30}\,\text{kg}

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Resultado

\vec g = -0{,}064\,\vec\imath - 0{,}478\,\vec\jmath\ \text{N/kg}

, de módulo

0{,}482\,\text{N/kg}

(con

\vec g_A = -0{,}211\,\vec\imath - 0{,}282\,\vec\jmath

\vec g_B = 0{,}147\,\vec\imath - 0{,}196\,\vec\jmath

en N/kg).

b)

E_p = -1{,}49\cdot10^{10}\,\text{J}

; velocidad mínima de escape desde P,

v_e = 1{,}73\cdot10^{5}\,\text{m/s}

(unos

173\,\text{km/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos estrellas están a la misma distancia de P: forman con el origen dos triángulos rectángulos de catetos

3\text{d}

4\text{d}

, así que la hipotenusa mide

5\text{d}

(el famoso 3-4-5). Cada estrella crea en P un campo que apunta hacia ella; el total es la suma vectorial (principio de superposición). Como A es más masiva, su campo es más intenso y la resultante se inclina un poco hacia A.

En b) la energía potencial es un escalar: se suman las dos contribuciones, sin vectores. Para escapar, la energía mecánica tiene que llegar a cero en el infinito: la energía cinética en P debe compensar justo esa energía potencial negativa.

Desarrollo

a) Distancias y vectores unitarios. A está en

(-3\text{d},\,0)

, B en

(3\text{d},\,0)

y P en

(0,\,4\text{d})

. La distancia de cada estrella a P es

r = \sqrt{(3\text{d})^2+(4\text{d})^2} = 5\text{d} = 2{,}5\cdot10^{10}\,\text{m}

El campo en P apunta de P hacia cada estrella. Los vectores unitarios de P hacia A y de P hacia B son

\vec u_{PA} = \frac{-3\text{d}\,\vec\imath - 4\text{d}\,\vec\jmath}{5\text{d}} = -0{,}6\,\vec\imath - 0{,}8\,\vec\jmath \qquad \vec u_{PB} = 0{,}6\,\vec\imath - 0{,}8\,\vec\jmath

Módulo del campo de cada estrella. Con

g = G\,M/r^2

g_A = \frac{G M_A}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}3\cdot10^{30}}{(2{,}5\cdot10^{10})^2} = 0{,}352\,\text{N/kg}

g_B = \frac{G M_B}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}3\cdot10^{30}}{(2{,}5\cdot10^{10})^2} = 0{,}245\,\text{N/kg}

Vectores.

\vec g_A = g_A\,\vec u_{PA} = -0{,}211\,\vec\imath - 0{,}282\,\vec\jmath\ \ \text{N/kg} \qquad \vec g_B = g_B\,\vec u_{PB} = 0{,}147\,\vec\imath - 0{,}196\,\vec\jmath\ \ \text{N/kg}

Campo total (superposición).

\vec g = \vec g_A + \vec g_B = 0{,}6\,(g_B - g_A)\,\vec\imath - 0{,}8\,(g_A + g_B)\,\vec\jmath = -0{,}064\,\vec\imath - 0{,}478\,\vec\jmath\ \ \text{N/kg}

Su módulo es

g = \sqrt{0{,}064^2 + 0{,}478^2} = 0{,}482\,\text{N/kg}

. Apunta casi hacia abajo (hacia el centro del sistema), algo inclinado hacia A, la estrella más masiva.

b) Energía potencial en P. La energía potencial es escalar y se suman las de cada estrella, con la referencia en el infinito:

E_p = -\frac{G M_A m}{r} - \frac{G M_B m}{r} = -\frac{G\,(M_A+M_B)\,m}{5\text{d}}

E_p = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}6\cdot10^{30}\cdot1}{2{,}5\cdot10^{10}} = -1{,}49\cdot10^{10}\,\text{J}

Velocidad mínima para escapar. Solo actúa la gravedad, que es conservativa, así que la energía mecánica se conserva. «Velocidad mínima» quiere decir que el cuerpo llega al infinito con velocidad nula, donde además

E_p = 0

\frac{1}{2}m v_e^2 + E_p = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{-2E_p}{m}} = \sqrt{\frac{2G\,(M_A+M_B)}{5\text{d}}}

v_e = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}49\cdot10^{10}}{1}} = 1{,}73\cdot10^{5}\,\text{m/s}

Consejo

El campo es un vector y la energía potencial un escalar: en a) sumas componentes con los vectores unitarios; en b) sumas números negativos. Mezclarlo es el error más caro.

En la velocidad de escape, escribe la conservación de la energía con $E_m(\infty) = 0$ antes de despejar: el planteamiento razonado se lleva la mayor parte de la nota.