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Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Enunciado

El yodo-131,

{}^{131}_{53}\text{I}

, es un isótopo radiactivo que se usa para realizar gammagrafías, combatir el cáncer y tratar otras enfermedades de la glándula tiroides. Se desintegra, con un periodo de semidesintegración de

8{,}0

días, según la siguiente reacción,

{}^{131}_{53}\text{I} \rightarrow {}^{y}_{x}\text{Xe} + \beta^- + {}^{0}_{0}\gamma

. Determina los valores de los números atómico y másico del xenón. Si un paciente recibe un tratamiento con

{}^{131}_{53}\text{I}

, ¿cuántos días tienen que transcurrir para que la cantidad de

{}^{131}_{53}\text{I}

en su cuerpo se reduzca hasta el

15\,\%

del valor inicial? Supón que la desintegración radiactiva sea la única vía de eliminación.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

x = 54

(número atómico) e

y = 131

(número másico):

{}^{131}_{54}\text{Xe}

. Con

\lambda = \ln2/T_{1/2} = 8{,}66\cdot10^{-2}\,\text{días}^{-1}

, la cantidad de yodo-131 baja al 15 % al cabo de

t = 21{,}9

días (unos 22 días).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En toda reacción nuclear se conservan el número másico (los nucleones) y la carga (el número atómico). La partícula

\beta^-

es un electrón,

{}^{0}_{-1}e

, y el fotón

\gamma

no tiene ni carga ni masa: así salen

x

y

. Para el tiempo usamos la ley de desintegración exponencial, con la constante de desintegración sacada del periodo de semidesintegración, y despejamos

t

tomando logaritmos.

Desarrollo

Números del xenón. La partícula

\beta^-

es un electrón,

{}^{0}_{-1}e

, y el fotón es

{}^{0}_{0}\gamma

. La reacción completa es:

{}^{131}_{53}\text{I} \rightarrow {}^{y}_{x}\text{Xe} + {}^{0}_{-1}e + {}^{0}_{0}\gamma

Conservación del número másico:

131 = y + 0 + 0\quad\Longrightarrow\quad y = 131

Conservación de la carga (número atómico):

53 = x - 1 + 0\quad\Longrightarrow\quad x = 54

El producto es

{}^{131}_{54}\text{Xe}

: en la emisión

\beta^-

un neutrón del núcleo se convierte en un protón, de modo que

Z

sube una unidad y

A

no cambia (ley de Soddy).

Constante de desintegración.

\lambda = \frac{\ln2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{8{,}0} = 8{,}66\cdot10^{-2}\,\text{días}^{-1}

Ley de desintegración. El número de núcleos que quedan sin desintegrar es:

N = N_0\,e^{-\lambda t}

Queremos

N = 0{,}15\,N_0

0{,}15 = e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln(1/0{,}15)}{\lambda} = T_{1/2}\,\frac{\ln(1/0{,}15)}{\ln2}

Tiempo.

t = 8{,}0\cdot\frac{\ln6{,}67}{\ln2} = 8{,}0\cdot\frac{1{,}897}{0{,}693} = 21{,}9\,\text{días}

Tiene sentido: tras dos periodos (16 días) queda el 25 % y tras tres (24 días), el 12,5 %; el 15 % cae entre medias, más cerca del tercero.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Escribe la partícula $\beta^-$ con sus números, ${}^{0}_{-1}e$ : es lo que permite cuadrar la carga y el error típico es poner $x = 52$ por restar en vez de sumar.

El tiempo vale más de la mitad de la nota: plantea la ley exponencial y despeja con logaritmos paso a paso. Comprueba el resultado contando periodos de semidesintegración.