FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Enunciado

Un cuerpo de masa

m = 50\,\text{kg}

se encuentra sujeto a un muelle de constante elástica

k

. Se empuja el cuerpo comprimiendo el muelle. Al dejar de empujar, el sistema se pone a vibrar con movimiento armónico simple de frecuencia

\dfrac{1}{\pi}\,\text{Hz}

y una aceleración máxima de

2{,}0\,\text{m/s}^2

. Calcula:

a) La amplitud de la oscilación y la fase inicial. Escribe, utilizando la función coseno, la ecuación del movimiento del cuerpo,

x(t)

. Obtén la expresión de la velocidad del cuerpo en función del tiempo. ¿Cuál es el valor absoluto de la velocidad máxima de vibración? (1 punto)

b) El valor de la constante elástica del muelle. ¿Cuál sería la energía potencial elástica máxima, la energía cinética máxima y la energía mecánica de dicha masa? No se consideran rozamientos. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\omega = 2\,\text{rad/s}

A = 0{,}5\,\text{m}

\varphi_0 = \pi\,\text{rad}

(eje positivo en el sentido en que se estira el muelle):

x(t) = 0{,}5\cos(2t + \pi)\,\text{m}

;

v(t) = -1{,}0\,\text{sen}(2t + \pi)\,\text{m/s}

;

|v_{max}| = 1{,}0\,\text{m/s}

.

b)

k = 200\,\text{N/m}

;

E_{p,max} = 25\,\text{J}

E_{c,max} = 25\,\text{J}

E_m = 25\,\text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con la frecuencia sale la pulsación,

\omega = 2\pi f

, y como la aceleración máxima de un MAS es

\omega^2 A

, de ahí sale la amplitud. La fase inicial la da cómo empieza el movimiento: en

t = 0

dejamos de empujar con el muelle comprimido y el cuerpo parado, es decir, en un extremo. Tomando el eje

x

positivo en el sentido en que se estira el muelle, ese extremo es

x = -A

. La velocidad es la derivada de la posición. En b) la constante sale de

\omega^2 = k/m

, y sin rozamiento la energía mecánica se conserva: la potencial máxima (en los extremos) es igual a la cinética máxima (en el centro).

Desarrollo

a) Pulsación.

\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot\frac{1}{\pi} = 2\,\text{rad/s}

Amplitud. En un MAS,

a = -\omega^2 x

, así que la aceleración es máxima en los extremos:

a_{max} = \omega^2 A\quad\Longrightarrow\quad A = \frac{a_{max}}{\omega^2} = \frac{2{,}0}{2^2} = 0{,}5\,\text{m}

Fase inicial. Escribimos

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)

, con el eje

x

positivo en el sentido en que se estira el muelle y el origen en la posición de equilibrio. En

t = 0

el cuerpo está parado con el muelle comprimido al máximo:

x(0) = -A

-A = A\cos\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi_0 = -1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \pi\,\text{rad}

(La velocidad inicial,

v(0) = -A\omega\,\text{sen}\,\pi = 0

, confirma que parte del reposo.)

Ecuación del movimiento.

x(t) = 0{,}5\cos(2t + \pi)\ \text{m}

Velocidad. Derivando:

v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0) = -1{,}0\,\text{sen}(2t + \pi)\ \text{m/s}

Velocidad máxima. Es el factor que multiplica al seno:

|v_{max}| = A\,\omega = 0{,}5\cdot2 = 1{,}0\,\text{m/s}

y se alcanza al pasar por la posición de equilibrio.

b) Constante elástica. Para un muelle,

\omega = \sqrt{k/m}

k = m\,\omega^2 = 50\cdot2^2 = 200\,\text{N/m}

Energía potencial elástica máxima. En los extremos,

x = \pm A

E_{p,max} = \frac12 k A^2 = \frac12\cdot200\cdot0{,}5^2 = 25\,\text{J}

Energía cinética máxima. En el centro, con

v = A\omega

E_{c,max} = \frac12 m v_{max}^2 = \frac12\cdot50\cdot1{,}0^2 = 25\,\text{J}

Energía mecánica. Sin rozamiento se conserva y vale lo mismo en todo punto: en un extremo es toda potencial y en el centro toda cinética.

E_m = E_c + E_p = \frac12 k A^2 = 25\,\text{J}

Consejo

Di qué sentido tomas como positivo antes de dar la fase inicial: con el eje hacia la compresión saldría $\varphi_0 = 0$ , y es igual de válido si lo explicas. Lo que no vale es un valor sin justificar.

Comprueba que las tres energías cuadran: si $E_{p,max}$ y $E_{c,max}$ no salen iguales, hay un error en $k$ , en $A$ o en $v_{max}$ .