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Problema resuelto de Física: Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

También trata: Campo y potencial eléctrico

Enunciado

El 24/11/2024 aparecía en un periódico la siguiente noticia: «La radioterapia con protones es el arma más eficaz contra los tumores en niños según los expertos oncológicos». Para realizar esta terapia, los protones deben ser acelerados y guiados. Consideremos un protón en reposo que es acelerado por una diferencia de potencial

\Delta V = 2\cdot10^{4}\,\text{V}

. A continuación, el protón entra en una región en la que existe un campo magnético constante, uniforme, perpendicular a la trayectoria del protón y de valor

B = 0{,}02\,\text{T}

. Realizando un planteamiento no relativista del problema, determina razonadamente:

a) La energía cinética y el módulo de la velocidad del protón, con que entra en la zona donde existe el campo magnético. (1 punto)

b) La expresión y el valor del radio de curvatura de la trayectoria del protón cuando se encuentra en la región donde actúa el campo magnético. ¿Cuánto tiempo emplea en describir media órbita completa? Razona si cambia el módulo de la velocidad del protón al realizar dicha trayectoria. (1 punto)

Datos: masa del protón,

m = 1{,}67\cdot10^{-27}\,\text{kg}

; carga elemental,

q = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

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Resultado

E_c = q\,\Delta V = 3{,}2\cdot10^{-15}\,\text{J}

(20 keV) y

v = \sqrt{2q\Delta V/m} = 1{,}96\cdot10^{6}\,\text{m/s}

.

b)

r = \dfrac{m v}{q B} = 1{,}02\,\text{m}

; media órbita dura

t = \dfrac{\pi m}{q B} = 1{,}64\cdot10^{-6}\,\text{s}

. El módulo de la velocidad no cambia: la fuerza magnética es perpendicular a

\vec v

y no hace trabajo.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos tramos. En el primero, el campo eléctrico acelera al protón: el trabajo que hace,

q\,\Delta V

, se convierte en energía cinética, y de ahí sale la velocidad. En el segundo, la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad en todo momento: no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección, y el protón describe una circunferencia. Igualando la fuerza de Lorentz a la fuerza centrípeta (segunda ley de Newton) sale el radio, y del periodo, el tiempo de media vuelta.

Desarrollo

a) Energía cinética. El protón parte del reposo. Por el teorema de la energía, el trabajo del campo eléctrico es igual a la energía cinética que gana:

W = q\,\Delta V = E_c - 0\quad\Longrightarrow\quad E_c = q\,\Delta V = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{4} = 3{,}2\cdot10^{-15}\,\text{J}

(Son

2\cdot10^{4}\,\text{eV} = 20\,\text{keV}

.)

Velocidad. Con

E_c = \frac12 m v^2

v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\,q\,\Delta V}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot3{,}2\cdot10^{-15}}{1{,}67\cdot10^{-27}}} = 1{,}96\cdot10^{6}\,\text{m/s}

Es menos del 1 % de la velocidad de la luz: el planteamiento no relativista es correcto.

b) Radio de curvatura. Dentro del campo magnético actúa la fuerza de Lorentz,

\vec F = q\,\vec v\times\vec B

; como

\vec v \perp \vec B

, su módulo es

F = q\,v\,B

y es perpendicular a la velocidad. Es una fuerza centrípeta; por la segunda ley de Newton:

q\,v\,B = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v}{q\,B}

r = \frac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}96\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}02} = 1{,}02\,\text{m}

Tiempo de media órbita. El periodo del movimiento circular es:

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{q\,B}

y media vuelta dura la mitad:

t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{q\,B} = \frac{\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}02} = 1{,}64\cdot10^{-6}\,\text{s}

(No depende de la velocidad: un protón más rápido describe una circunferencia mayor en el mismo tiempo.)

¿Cambia el módulo de la velocidad? No. La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, así que su trabajo es nulo (

\vec F\cdot\vec v = 0

) y, por el teorema de la energía cinética,

E_c

no cambia. El módulo de la velocidad se mantiene en

1{,}96\cdot10^{6}\,\text{m/s}

; solo cambia su dirección (movimiento circular uniforme).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el radio vale 0,6 puntos y se da «a partir de la segunda ley de Newton»: escribe $qvB = mv^2/r$ y explica que la fuerza de Lorentz hace de fuerza centrípeta antes de despejar.

Para justificar que el módulo de $v$ no cambia, no basta con decirlo: la razón es que la fuerza es perpendicular a la velocidad y no realiza trabajo.