Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Relación entre periodo y radio orbital. En la órbita circular de radio $r$, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}$$La masa del satélite se simplifica. En un movimiento circular uniforme la velocidad es $v = 2\pi r/T$; sustituyendo:$$\frac{G M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\,r^3\quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M}}$$Es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita, con una constante que solo depende de la masa del cuerpo central.

Radio de la órbita de JUICE. Se mide desde el centro de Ganímedes:$$r = R_G + h = 2634 + 500 = 3134\,\text{km} = 3{,}134\cdot10^{6}\,\text{m}$$Periodo.$$T = 2\pi\sqrt{\frac{(3{,}134\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}48\cdot10^{23}}} = 1{,}11\cdot10^{4}\,\text{s}$$Son unas $3{,}08$ horas: JUICE daría casi ocho vueltas a Ganímedes al día.