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Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

Enunciado

El hipotético módulo espacial de la figura tiene una masa en reposo

M_0 = 10^{4}\,\text{kg}

y una longitud propia

L_0 = 11{,}0\,\text{m}

. Se mueve en una dirección a lo largo de su longitud con una velocidad

v

relativa a la base de control situada en la Tierra. Respecto a dicha base, se mide la longitud del módulo espacial y su resultado es

L = 10{,}0\,\text{m}

. ¿Cuál es la velocidad

v

con la que se mueve el módulo espacial respecto a la base de control? ¿Y su energía total relativista?

Módulo espacial visto de lado, moviéndose hacia la derecha con velocidad v, a lo largo de su eje. Debajo, una flecha de extremo a extremo indica su longitud propia, 11 m.

Dato: velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\gamma = L_0/L = 1{,}10

, así que

v = c\sqrt{1 - (L/L_0)^2} = 1{,}25\cdot10^{8}\,\text{m/s}

(

0{,}417\,c

). Energía total relativista

E = \gamma M_0 c^2 = 9{,}9\cdot10^{20}\,\text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Desde la base, el módulo se ve más corto en la dirección del movimiento: es la contracción de longitudes,

L = L_0/\gamma

. Del cociente entre la longitud medida y la propia sale el factor de Lorentz

\gamma

, y de él la velocidad. La energía total relativista es

E = \gamma M_0 c^2

, y ya tenemos

\gamma

Desarrollo

Contracción de longitudes. La longitud propia

L_0

es la medida en el sistema en el que el módulo está en reposo. Para la base, que lo ve moverse a lo largo de su longitud:

L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\qquad\text{con}\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Factor de Lorentz.

\gamma = \frac{L_0}{L} = \frac{11{,}0}{10{,}0} = 1{,}10

Velocidad. Despejando de la contracción:

v = c\,\sqrt{1 - \left(\frac{L}{L_0}\right)^2} = 3\cdot10^{8}\sqrt{1 - \left(\frac{10{,}0}{11{,}0}\right)^2} = 3\cdot10^{8}\cdot\frac{\sqrt{21}}{11} = 1{,}25\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Es decir,

v = 0{,}417\,c

.

Energía total relativista.

E = \gamma\,M_0\,c^2 = 1{,}10\cdot10^{4}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 9{,}9\cdot10^{20}\,\text{J}

De ella,

M_0c^2 = 9{,}0\cdot10^{20}\,\text{J}

es la energía en reposo y los

9{,}0\cdot10^{19}\,\text{J}

restantes, la energía cinética.

Consejo

La longitud propia es siempre la mayor (la que mide quien viaja con el objeto): si al despejar te sale $\gamma < 1$ , has puesto las longitudes al revés.

La energía es lo que más puntúa (0,7): escribe $E = \gamma M_0 c^2$ y no te quedes en $M_0c^2$ , que es solo la energía en reposo.