Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

Lectura de la gráfica. Amplitud $A = 10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m}$. Los máximos están en $t \approx 0{,}33\,\text{s}$ y $t \approx 2{,}33\,\text{s}$, así que el periodo es $T = 2\,\text{s}$.

Frecuencia angular.$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\,\text{rad/s} = 3{,}14\,\text{rad/s}$$Energía mecánica. En el MAS la energía mecánica es la potencial elástica máxima, $\frac12 kA^2$, con $k = m\omega^2$:$$E = \frac12\,m\,\omega^2 A^2 = \frac12\cdot1\cdot\pi^2\cdot0{,}10^2 = 4{,}93\cdot10^{-2}\,\text{J}$$Ecuación del movimiento. Escribimos $x(t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)$. En $t = 0$, $x = 5\,\text{cm}$:$$0{,}05 = 0{,}10\,\text{sen}\,\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = \frac12\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{6}\ \text{o}\ \frac{5\pi}{6}$$En la gráfica la posición crece al principio, así que la velocidad inicial es positiva, $v(0) = A\omega\cos\varphi_0 > 0$: eso exige $\cos\varphi_0 > 0$, y la fase es $\varphi_0 = \pi/6$ rad. (Se comprueba: el máximo llega cuando $\pi t + \pi/6 = \pi/2$, en $t = 1/3\,\text{s}$, como en la gráfica.)$$x(t) = 0{,}10\,\text{sen}\!\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{m}$$Velocidad. Derivando:$$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\,\omega\cos(\omega t + \varphi_0) = 0{,}10\,\pi\cos\!\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{m/s}$$En $t = 2\,\text{s}$, como $2\pi$ es un periodo completo:$$v(2) = 0{,}10\,\pi\cos\!\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = 0{,}10\,\pi\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 0{,}272\,\text{m/s}$$Es positiva: en $t = 2\,\text{s}$ la partícula vuelve a pasar por $x = 5\,\text{cm}$ subiendo, igual que en $t = 0$.