Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

a) Momento angular en el apogeo. El momento angular es $\vec L = \vec r\times m\vec v$. En el apogeo el vector velocidad es perpendicular al vector de posición (el radio es máximo, así que no se está alejando ni acercando), y el módulo queda:$$L = m\,r_a\,v_a\,\text{sen}\,90^\circ = m\,r_a\,v_a\quad\Longrightarrow\quad v_a = \frac{L}{m\,r_a}$$$$v_a = \frac{5{,}6\cdot10^{10}}{1\cdot7{,}0\cdot10^{6}} = 8{,}0\cdot10^{3}\,\text{m/s}$$Perigeo. La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que es central (va siempre dirigida hacia la Tierra, paralela a $\vec r$): su momento respecto al centro de la Tierra es nulo, $\vec r\times\vec F = \vec 0$, y el momento angular se conserva. En el perigeo la velocidad también es perpendicular al radio:$$m\,r_a\,v_a = m\,r_p\,v_p\quad\Longrightarrow\quad v_p = v_a\,\frac{r_a}{r_p}$$Como $r_p < r_a$, resulta $v_p > v_a$: en el perigeo el satélite va más rápido. Es la segunda ley de Kepler: el radio barre áreas iguales en tiempos iguales, así que cerca de la Tierra tiene que recorrer más arco en el mismo tiempo.

b) Energía cinética en el apogeo.$$E_c = \frac12\,m\,v_a^2 = \frac12\cdot1\cdot(8{,}0\cdot10^{3})^2 = 3{,}2\cdot10^{7}\,\text{J}$$Energía potencial gravitatoria en el apogeo (con el origen en el infinito):$$E_p = -\frac{G M_T m}{r_a} = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1}{7{,}0\cdot10^{6}} = -5{,}72\cdot10^{7}\,\text{J}$$Energía mecánica. Es la suma, y como la gravedad es conservativa vale lo mismo en cualquier punto de la órbita:$$E_m = E_c + E_p = 3{,}2\cdot10^{7} - 5{,}72\cdot10^{7} = -2{,}52\cdot10^{7}\,\text{J}$$Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra, como corresponde a una órbita cerrada (elíptica).

Un detalle de los datos. Con estos números el punto dado no puede ser el apogeo: la velocidad de una órbita circular de ese radio sería $\sqrt{GM_T/r_a} = 7{,}56\cdot10^3\,\text{m/s}$, y en el apogeo de una elipse el satélite va más despacio que eso. Con $8{,}0\cdot10^3\,\text{m/s}$ ese punto sería el perigeo (el semieje mayor sale de $E_m = -GM_Tm/2a$: $a = 7{,}95\cdot10^6\,\text{m} > r_a$). En el examen se responde con los datos tal como vienen, que es lo que hemos hecho.