FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

Comunitat Valenciana · 2025 · Julio
Enunciado
En el año 1969 el módulo de mando Columbia de la misión Apolo 11, tripulada por el astronauta Michael Collins, orbitaba con trayectoria circular, a 100 km100\,\text{km} de altura sobre la superficie de la Luna y con un periodo de 118118 minutos. Mientras, Neil Armstrong y Edwin Aldrin, los otros dos tripulantes, caminaban sobre la Luna. Determina razonadamente:

a) La expresión para calcular la masa de la Luna y obtén su valor. Determina la velocidad de escape desde la superficie lunar. (1 punto)

b) La velocidad con la que el módulo de aterrizaje Eagle, tripulado por Aldrin y Armstrong, debe despegar de la superficie lunar para llegar a la órbita del módulo Columbia y con la misma velocidad a la que orbita el Columbia. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; radio de la Luna, RL=1,74⋅103 kmR_L = 1{,}74\cdot10^{3}\,\text{km}
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Resultado
a) ML=4π2r3GT2=7,36⋅1022 kgM_L = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = 7{,}36\cdot10^{22}\,\text{kg} (con r=1,84⋅106 mr = 1{,}84\cdot10^6\,\text{m}, T=7080 sT = 7080\,\text{s}); velocidad de escape ve=2GML/RL=2,37⋅103 m/sv_e = \sqrt{2GM_L/R_L} = 2{,}37\cdot10^{3}\,\text{m/s}.

b) El Columbia orbita a 1,63⋅103 m/s1{,}63\cdot10^{3}\,\text{m/s}; el Eagle debe despegar con v0=1,72⋅103 m/sv_0 = 1{,}72\cdot10^{3}\,\text{m/s}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El Columbia es un satélite de la Luna: su órbita circular nos dice cuánto vale la masa lunar, porque la atracción gravitatoria es justo la fuerza centrípeta que lo mantiene girando. Con esa masa, la velocidad de escape sale de pedir energía mecánica nula en la superficie. En b) el Eagle despega del suelo y sube sin motores hasta la órbita del Columbia, donde tiene que llegar con la velocidad orbital: como la gravedad es conservativa, su energía mecánica en el suelo es la misma que al llegar. Todo en metros y segundos.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita y periodo en el SI. El radio se mide desde el centro de la Luna:r=RL+h=1,74⋅106+1,0⋅105=1,84⋅106 mT=118⋅60=7080 sr = R_L + h = 1{,}74\cdot10^{6} + 1{,}0\cdot10^{5} = 1{,}84\cdot10^{6}\,\text{m}\qquad T = 118\cdot60 = 7080\,\text{s}Masa de la Luna. En la órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, con v=2πr/Tv = 2\pi r/T:GMLmr2=m v2r=m 4π2rT2⟹ML=4π2r3G T2\frac{G M_L m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad M_L = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}ML=4π2 (1,84⋅106)36,67⋅10−11⋅70802=7,36⋅1022 kgM_L = \frac{4\pi^2\,(1{,}84\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 7080^2} = 7{,}36\cdot10^{22}\,\text{kg}(La masa del Columbia se simplifica: no hace falta conocerla.)

Velocidad de escape. Es la mínima para que un cuerpo lanzado desde la superficie llegue al infinito con velocidad nula. Como allí Ec=Ep=0E_c = E_p = 0, la energía mecánica en la superficie debe ser nula:12mve2−GMLmRL=0⟹ve=2GMLRL\frac12 m v_e^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}}ve=2⋅6,67⋅10−11⋅7,36⋅10221,74⋅106=2,37⋅103 m/sv_e = \sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}36\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}} = 2{,}37\cdot10^{3}\,\text{m/s}b) Velocidad del Columbia en su órbita.vorb=2πrT=2π⋅1,84⋅1067080=1,63⋅103 m/sv_{orb} = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot1{,}84\cdot10^{6}}{7080} = 1{,}63\cdot10^{3}\,\text{m/s}(Es lo mismo que GML/r\sqrt{G M_L/r}, como debe ser.)

Conservación de la energía mecánica del Eagle. Tras el despegue solo actúa la gravedad lunar, que es conservativa (despreciamos la rotación de la Luna). Igualamos la energía en la superficie y al llegar a la órbita:12mv02−GMLmRL=12mvorb2−GMLmr\frac12 m v_0^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = \frac12 m v_{orb}^2 - \frac{G M_L m}{r}v0=vorb2+2GML(1RL−1r)v_0 = \sqrt{v_{orb}^2 + 2 G M_L\left(\frac{1}{R_L} - \frac{1}{r}\right)}Valor numérico.v0=(1,63⋅103)2+2⋅6,67⋅10−11⋅7,36⋅1022(11,74⋅106−11,84⋅106)=1,72⋅103 m/sv_0 = \sqrt{(1{,}63\cdot10^{3})^2 + 2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}36\cdot10^{22}\left(\frac{1}{1{,}74\cdot10^{6}} - \frac{1}{1{,}84\cdot10^{6}}\right)} = 1{,}72\cdot10^{3}\,\text{m/s}Es algo mayor que la velocidad orbital (hay que «pagar» la subida de 100 km) y bastante menor que la de escape, como cabía esperar: el Eagle no se escapa de la Luna, se queda ligado en la órbita.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

Convierte antes de nada: la altura a metros, el radio de la Luna a metros y el periodo a segundos, y suma radio y altura (el radio de la órbita se mide desde el centro).

En b) la conservación de la energía vale 0,4 puntos: escríbela entera, con la energía cinética de llegada, que es la velocidad orbital y no cero.
Paso 1 de 3
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